第八单元  用字母表示数

教学目标：

    1、使学生初步理解并学会用字母表示数，会用含有字母的式子表示数量、数量关系或计算公式；初步学会根据字母所取的值，求简单的含有字母的式子的值；会化简形如“ax±bx”的式子。

    2、使学生经历把实际问题用含有字母的式子进行表达的抽象过程，体会用字母表示数的简洁和便利，发展符号感。

    3、使学生在运用简单符号语言进行表达和交流的过程中，进一步体会数学与实际生活的密切联系，感受数学表达方式的严谨性、概括性以及简洁性，增强对数学的好奇心和求知欲。

教学重点：

    理解怎样根据量与量之间的关系，用含有字母的式子来表示数量。

教学难点：

    经历把实际问题用含有字母的式子进行表达的抽象过程，体会用字母表示数的简洁与便利，发展符号感。

教具学具：展台、课件

教学时间：5课时

第一课时  用含有字母的式子表示简单的数量关系和公式

                            

教学内容：教科书P99～100例1、2、3及“练一练”、“你知道吗”和“练习十八”第1～2题

教学目标：

    1、让学生理解并学会用字母表示数，能用含有字母的式子表示简单的数量关系或计算公式，学会求简单的含有字母式子的值。

    2、让学生经历把实际问题用含有字母的式子进行表达的抽象过程，体会用字母表示数的简洁和便利，发展符号感。

    3、让学生初步学习用符号语言进行表述、交流，体会数学与实际问题的密切联系，感受数学表达方式的严谨性、概括性以及简洁性。

教学重点：理解怎样根据量与量之间的关系，用含有字母的式子来表示数量。

教学难点：理解量与量之间的关系。 

教具准备：课件

教学过程：

一、激发情趣，导入新课。

    同学们这节课我们要学习新的知识，你有信心学好吗？那你准备课堂上怎样表现呢？（学生回答）

那好，老师要看看谁在课堂上能积极动脑，认真听讲，表现最棒，好吗？下面我们一起学习新知识。

二、合作探究，学习新知。

    1、研究“用字母表示数”。

    （1）例题1：（课件出示）

    摆1个三角形用3根小棒；

    摆2个三角形用小棒的根数是：2×3；

    摆3个三角形用小棒的根数是：（ 3 ）×3；

    摆4个三角形用小棒的根数是：（ 4 ）×3：

         ……

    摆a个三角形用小棒的根数是: （ a ）×（ 3 ）。

    合作：同学们在小组中根据例题的要求进行合作交流，抽象出摆a个三角形一共需要多少根小棒。

    提问：字母a可以表示哪些数呢？a×3表示什么？你能举例吗？

         （明确：a可以表示任何自然数）

（2）例题2：（课件出示例2）

    ①已经行驶了50千米，剩下的千米数是280-50；

    ②已经行驶了74.5千米，剩下的千米数是280-（    ）；

    ③已经行驶了b千米，剩下的千米数是(    )-（    ）.

探讨：这里的b可以表示哪些数？（学生在小组中交流讨论进行回答，明确：b表示已经行驶的千米数。）

提问：如果b=120，剩下多少千米？如果b=20呢？

    2、研究“用字母表示公式以及字母乘法的简便写法”。

出示例3（课件）：如果正方形的边长用a表示，周长用C表示，面积用S表示。你能用字母表示出正方形周长和面积的计算公式吗？

合作探究：学生在小组中交流用字母表示公式的写法，进行回答。

    板书：正方形周长：C=a×4   正方形面积：S=a×a

    说明：a×4通常可以写成4a或4·a；a×a通常写成a·a或a2。也就是说，当字母与数字相乘时，去掉乘号，把数字写在字母的前面，也可以用点表示乘号；当字母与字母相乘时，省略乘号，用点表示，相同字母的话就写一个字母再在字母的右上角写上2，是谁就读做“谁的平方。”；字母与1相乘省略1不写，只写字母本身，如，“1×a”写做“a”。

    3、学生自己读一读第106页的内容，有不明白的提出来。

学生质疑，师生共同解疑。

三、拓展练习。

   1、做“练一练”第1题。(让学生独立做题，展示部分学生的答案，共同校对，巩固字母乘法的写法)

   2、口算。12、52、102 （板书题目后，指名口答）

   3、做“练一练”第2、3题。(让学生独立完成。追问：式中的字母表示什么？含有字母的式子分别表示什么？)

   4、教学“你知道吗？”。

    学生自己读一读。

    提问：你知道韦达是一位什么样的人？他为数学界做出了怎样的贡献？(学生说说自己的读后感想)

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   5、做“练习十八”第1题。（让学生独立完成，集体交流）

   6、做“练习十八”第2题。(让学生独立完成，集体交流订正)

四、全课总结。

    1、提问：通过这节课的学习，你有什么收获？

    2、谈话：用字母表示数能更概括地表示数量关系，这是代数的初步知识，也为以后学习简易方程打下基础。

五、课堂作业。

补充题：

1、省略乘号，写出下面各式。

    5×a =      b×1=       a×x =       d×d= 

2、如果用a表示长方形的长 , b表示宽，那么

   这个长方形的面积S= 

   这个长方形的周长C=

3、芳芳每天看书23页，a天共看了（    ）页。

4、一个长方形的长30米，宽ⅹ米，这个长方形的面积是（    ）平方米。

5、四年级有y人，三年级比四年级少15人，三年级有（     ）人。

板书设计：

                       用字母表示数

                     正方形周长：C=a×4

                                  =4·a

                                  =4a

                     正方形面积：S=a×a

                                  =a·a

                                  =a2

第二课时  用含有字母的式子表示稍复杂的数量关系和公式

教学内容：教科书P101～102例4、5、“练一练”第1、2题、 P103“练习十八”第3～7题和思考题。

教学目标：

    1、让学生理解并学会用字母表示数，能用含有字母的式子表示数量关系或计算公式；会用数代替字母求出含有字母的式子的值。

    2、让学生经历把实际问题用含有字母的式子进行表达的抽象过程，体会用字母表示数的简洁和便利，发展符号感。

    3、让学生初步学习用符号语言进行表述、交流，体会数学与实际问题的密切联系，感受数学表达方式的严谨性、概括性以及简洁性。

教学重点：理解用含有字母的式子表示数量关系。

教学难点：把数代入含有字母的式子求值。

教具准备：课件

教学过程：

一、教学例4。

1、创设情境，提出问题。

   导入：星期天，小明和表妹一起在玩摆小棒的游戏，看，这是他们摆的小棒。（出示小棒）

   提问：你看清楚了吗？你会摆吗？你会接着往下摆吗？一起试一试。（学生独立操作）

   提问：在你摆的过程中，你有什么发现？在小组里互相讨论一下。

   反馈，重点引导。

   （1）每次增加一个三角形；

   （2）每增加一个三角形就多用两根小棒。

2、结合旧知解决问题。

   引导：下面我们来算一算每次摆小棒的总根数。

         同时板书：摆1个三角形用3根小棒

   增加1个三角形后，共用小棒的根数是：3+2×1  

   （教师引导增加了几个2）

提问：你会像这样有规律地说出增加2个、3个三角形后小棒的总根数吗？

    回答：增加2个三角形后，共用小棒的根数是：3+2×2

    增加3个三角形后，共用小棒的根数是：3+2×3

    提问：增加25个，98个，200个……这样的三角形后，你能一下子列出算式，并知道一共用的小棒总根数吗？还能说出多少？

    仔细观察这些算式，它们有什么特点？（都是3加2乘几，只有最后一个数在变化）

揭示：我们可以用字母表示变化的数，像以上这种情况，如果增加a个三角形后，那么求共用小棒的根数该怎样列式呢？

板书：3+2×a（提问：a表示什么？）

    小结并揭题：用字母来表示数，这样表达既简洁又明了，这就是我们今天学习的内容，比上一节课学习的内容稍微复杂了一些。板书课题：用字母表示数。

二、教学例5。

1、情境引入。

   导入：小明和表妹在玩游戏时，家里正好来了三位客人，为了表示对客人的欢迎，小明做了以下事情。（分别出示例5挂图和问题）

   提问：你能描述一下你刚才所看到的情景和问题吗？

  2、教学用字母表示数量关系。

     提问：同桌可以互相讨论一下，该如何列出含有字母的式子？谁还有不同的意见？（教师可灵活处理）

     反馈：你能说一下你的算法吗？怎样想的？

           1100-x-x-x （学生说明思考过程）

           1100-3x （说说3x表示什么？1100-3x又表示什么？）

教师总结：1100-x-x-x这种算法是依次减去每个茶杯的毫升数，1100-3x的算法是先求出3个茶杯的总毫升数，然后从冷水壶中橙汁的总毫升数减去3个茶杯的总毫升数，求出冷水壶里剩下橙汁的毫升数。

比较：这两种算法，你认为哪种比较简单？

3、教学求含有字母的式子的值。

   提问：如果老师告诉你，每杯是250毫升，你能算出冷水壶里还剩多少毫升橙汁吗？（学生独立完成自己的本子上）

   做后交流，谈话：把x=250代人1100-3 x中，就可以求出冷水壶里还剩下多少毫升橙汁。

应该这样书写，边讲述边板书：

当x=250时，      1100-3x

                = 1100-3×250

                = 1100-750

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                = 350

                 答：冷水壶里还剩350毫升橙汁。

    谈话：你记住了吗？下面请你们把完整的格式再写一遍。（一学生板书，集体订正。）

4、练习。

出示：水杯中如果每杯是350毫升，那么冷水壶中还剩多少升橙汁？

要求学生独立完成，个别学生板演。

  5、小结：如果一些题目中的条件是用字母来表示的，我们就用含有字母的式子来表示要解决的问题，当告诉你字母的具体数值时，我们就要按照学过的格式把数代入式子，计算出式子的数值。

三、巩固练习。

   1、做“练一练”第1—4题。（让学生独立完成，集体交流订正）

   2、做“练习十八”第3题。

（出示题目后，让学生独立完成，教师巡视指导，然后组织学生交流）

   3、做“练习十八”第4、5题。（让学生独立完成，集体交流订正）

   4、做“练习十八”第6题。（指名板演，集体交流订正）

   5、做“练习十八”第7—11题。（让学生独立完成，集体交流订正）

四、全课总结。

五、课堂作业。P103第8、9题。

板书设计：

                       用字母表示数

                      3+2×a

                      1100-x-x-x =1100-3x 

             当x=250时        1100-3x

                             = 1100-3×250

                             = 1100-750

                             = 350

第三课时    化简含有字母的式子

教学内容：教科书P105例7、“练一练”、“练习十九”第1～5题。

教学目标：

    1、让学生经历化简形如“ax±bx”的式子的方法的探索过程，会化简这样的式子。

    2、让学生在用形如“ax±bx”的式子表达一些数量关系并化简的过程中加深对这些数量关系的理解，提高抽象思维的水平。

    3、让学生初步学习用符号语言进行表述、交流，体会数学与实际问题的密切联系，感受数学表达方式的严谨性、概括性及简洁性。

教学重点：理解用含有字母的式子表示数量关系。

教学难点：会化简形如“ax±bx”的式子。

教具准备：展台、课件

教学过程：

一、动手操作，学习新知。

1、教学例7。

  说明题意：小华用小棒摆了a个三角形，小芳用小棒摆了a个正方形。

  谈话：根据题意，你会用小棒摆一摆吗？有的同学可能觉得不知道到底各摆几个，可以各摆四五个再用省略号表示，最好再用括线注明a个。

学生用小棒先摆a个三角形，再用小棒摆a个正方形。

提问：摆a个三角形共用了多少根小棒？摆a个正方形呢？

      （3a和4a）

提问：你能提出什么问题？

学生会提出：他们一共用多少根小棒？小芳比小华多用多少根小棒或小华比小芳少用多少根小棒？

谈话：你能解答他们一共用了多少根小棒吗？

     （学生独立思考，再在小组里交流各自的想法）

组织学生在班级中交流，鼓励学生有不同的想法。

     （学生讨论得出：一共用了(3a+4a)根小棒或是7a根小棒）

提问：你是怎样想到共用7a根小棒的？

     （引导学生观察发现摆一个三角形和一个正方形是用了7根小棒，那么摆a个三角形和正方形就一共用了7a根小棒） 

谈话：3a+4a与7a都表示摆a个三角形和a个正方形共用的小棒根数，  

    （两者相比，哪种表示法更简单些？(指名回答)把复杂的式子变成简单的式子在数学上叫化简，你能利用学过的知识通过计算把3a+4a化简吗？）

学生说出化简过程，教师板书：

      3a+4a

    =（3+4）a

    = 7a

提问：3a+4a=(3+4)a的依据是什么？

    （学生发现是运用了乘法分配律或想到依据乘法运算的意义）

谈话：以后你们在计算时，可以把中间一步省略(在上式的第二行加虚线框)，直接写成：3a+4a=7a。

    我们以往学过的整数的运算律也适用于含有字母的式子，因为字母表示的就是数。

2、做“练一练”。

（1）出示题目，自己读一读，说说你从题中知道了什么。

（2）谈话：你会填吗？试着做做看。学生独立解答，做好后与同桌交流想法。

（3）组织学生在班级中交流，说一说算法和想法。

二、理解新知，初步应用。

1、做“练习十九”第1题。（在书上完成，指名板演，集体交流订正）2、做“练习十九”第2题。（指名说图意）

    学生独立在书上填空，在小组里说一说自己的做题情况及想法。

提问：你是怎样填的？又是怎样想的？

    学生说做法：明明家到学校65a米，冬冬家到学校75a米，从明明家到冬冬家一共有：列式：65 a+75 a

                         = (65+75) a

                         =14 0 a

   小结：做这样的题目，只要把字母前边的数相加、减，字母不变。

三、联系实际，扩展延伸。

   1、做“练习十九”第3题。（学生自己读题，理解题意，独立解答）

   2、做“练习十九”第4题。（出示题目，指名说明题意和图意）

     提问：科学实验室和实验准备室的面积一共有多大？

    学生独立思考，并做一做。说一说做法和想法。

    想法1：科学实验室面积是12a平方米，实验准备室的面积是4 a平方米，一共的面积是12a+4a=16a平方米。

    想法2：发现科学实验室和实验准备室拼成了一个大的长方形，那么这个长方形的长是(12+4)米，面积就是(12+4)a=16a平方米。

    提问：当a=8时，实验室和实验准备室的面积一共是多少平方米？

         （学生独立计算，集体交流）

四、全课总结。

这节课的学习内容是什么？你有哪些收获？还有不明白的问题吗？

五、课堂作业。

补充题。

    1、计算下面各题。

   25a+65a=     76x-57x=     38x+86x=      56b-39b=

    2、一辆汽车到站时，车上原有ⅹ人,有5人下车，8人上车，车上还剩多少人？

    3、同学们做操，男生有3排，每行排x人；女生有4排，每行排y人，一共有多少人？

板书设计：

化简含有字母的式子

3a+4a             4a-3a

=（3+4）a        =（4-3）a

                 = 7a             = a

第四课时  用字母表示数（练习课）

                            

教学内容：教科书P106～107“练习十九”第5～13题。

教学目标：

    1、通过练习，使学生进一步熟练掌握用含有字母的式子表示运算律、计算公式和数量关系；能正确运用相关格式求含有字母式子的值。

    2、使学生进一步体会用字母表示数的简洁和便利，发展符号感。

    3、使学生进一步体会数学与实际生活的密切联系，感受数学表达方式的严谨性、概括性以及简洁性，增强对数学的好奇心和求知欲。

教学重点：会理解怎样根据量与量之间的关系，用含有字母的式子来表示数量。

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教学难点：理解量与量之间的关系。

教具准备：小黑板 教学课件

教学过程：

一、问题导入。

    提问：（1）这一单元我们学习了什么知识？

         （2）用字母表示数有什么好处？

二、巩固应用。

    1、做“练习十九”第5题。（学生独立完成，集体交流）

       7x-3x=4x（元）

       4x=4×3=12（元）

    2、做“练习十九”第6题。（学生独立完成，和同桌说说，再集体交流）

3、做“练习十九”第7题。（学生独立完成，集体交流）

提问：“0.9 2和0.9×2 、2x和x 2为什么不相等？

指出：因为0.9 2表示的是0.9乘0.9等于0.81，0.9×2等0.18， 

      所以0.9 2和90.×2不相等。

    另：因为“2x和x2”可以分别表示“x＋x”和“x×x”，是两种不同的运算，结果自然也不相同。

    补充：当x=（  ）时，“2x=x 2”？说说你是怎么想的？

4、做“练习十九”第8题。（学生独立完成）

    指名让学生说说自己填表时的思考过程，在交流中使学生进一步加深对运算律的理解。

5、做“练习十九”第9题。（说说是根据什么进行思考的？） 

    启发学生依据不同三角形的特征进行思考。还应适当提醒学生把写出的表示周长的式子进行简化。

6、做“练习十九”第10题。

（这道题是表示所求问题的式子中含有两个不同字母，求值时，需要分别用相应的数去代换，难度较此前有所增加，教学时要引导学生通过比较正确进行选择）

三、全课总结。

    通过这节课的学习，你有什么收获？

四、课堂作业。  P107“练习十九”第11～13题。

第五课时  钉子板上的多边形

教学目标：

    1、经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现皮克公式。  

    2、初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。  

    3、获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。  

    4、能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题。 

教学重点：发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律。

教学难点：类比推导出一般规律。

教学准备：作业纸  多媒体课件

教学过程：

一、激趣生疑，直观感知。

1、呈现一个钉子板上的多边形 

    说明：每相邻的四个钉子构成一个正方形，边长是1，面积是1个面积单位。 

   提问：这个图形有几个面积单位？你是怎么知道的？ 

   交流：（1）面积公式计算；

        （2）分割数方格。

2、启发：你能再围一个面积和刚才不一样的多边形吗？在围过程中想一想多边形的面积可能跟什么有关呢？

    （学生动手围一围，同桌相互说一说怎样求出面积的） 

3、追问：跟哪里的钉子数有关？ 

4、揭题：面积与钉子数之间是否存在一定的规律呢？我们这节课就来研究钉子板上的多边形面积与钉子数之间的关系。 

    提问：想一想，我们可以怎样来研究？提出猜想—验证猜想—概括结论  

二、简单入手，探究多边形内有一枚钉子的情况。

1、个例发现，形成猜想  

出示：一组钉子板上的多边形。 

    提问：每个多边形各有多少个面积单位？边上的钉子数各有多少枚？先数一数、算一算，把结果填入表中（生独立计数，完成表格） 

    提问：（1）校对结果  

         （2）你有什么发现？  

    交流：（1）多边形边上的钉子数越多，面积越大。

         （2）多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。

如果用S表示面积单位的个数，n表示多边形边上的钉子数，你能用字母表达式表示这一发现吗？

2、举例验证，明确前提。

    引导：由刚才这四个图形，有了这样的发现，这一发现是否也适用于钉子板，我们还要举例验证。

    要求：在钉子板上画一些多边形，验证刚才的发现。 

      （1）符合规律。

      （2）不符合规律。

    提问：看来刚才的发现并不适合钉子板上的所有图形，到底怎样的图形才具有这样的规律呢？它们有什么共同的特点？仔细观察，把你的发现说给同桌听听。  

指名交流：多边形中间只有一枚钉子。

3、归纳概括，形成结论。

    总结：看来要使这一发现成立，还要加个前提，谁能把这个规律完整的说一说？  

    当多边形里面只有1枚钉子时，多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。

    如果把多边形里面的钉子数用a来表示，完善字母表达式。 

    总结：看来钉子板上的多边形的面积不仅跟多边形边上的钉子数有关，还跟多边形里面的钉子数有关。 

    正因为面积和两个量都有关系，所以我们研究是时候先确定一个量（里面的钉子数）  

三、运用结构，探究多边形内有多枚钉子的情况。

1、探究形内有2枚钉子的情况。

    当形内有2枚钉子时会有怎样的规律呢？同学们也像刚才那样画一些形内只有2枚钉子的多边形，算一算，数一数，多边形有几个面积单位？多边形边上的钉子数有几枚？把结果填入表中。  

    过程指导：也像刚才那样，把钉子数除以2，再跟面积进行比较。看看有什么规律。   

    如果用字母表达式来表示这一规律应该怎么写？ 

学生独立探究，发现规律。

交流：当多边形内有2枚钉子时，多边形的面积等于多边形边上的钉子数÷2＋1  

同桌互说规律 学生独立完成。

    板书：当a=2时，S= n÷2＋1 

2、推想形内有2枚以上钉子的情况。

    提问：比较这两个规律，你觉得a=3、4时会有怎样的规律？

如果你能直接推想出规律，那就写出你的猜想，然后举例验证，如果不能，那也像刚才那样先画出图形内有3枚钉子的多边形，再数一数、算一算，看看有什么规律。

    交流规律：当a=3时，S=n÷2＋2 

              当a=4时，S=n÷2＋3  

3、归纳推理，形成一般公式。

             当a=m时，s=？ 

             当a=m时，s=n÷2＋m－1

4、同学们：今天我们通过对形内有1枚、2枚、3枚、4枚钉子数的多边形的研究，发现多边形的面积单位个数与钉子数之间的关系：当a=m时，s=n÷2＋m－1。

板书设计：

                     钉子板上的多边形

             当多边形内只有1枚钉子时，多边形面积

             单位的个数等于多边形边上的钉子数÷2 

             当a=1时，S=n÷2

             当a=2时，S=n÷2＋1

             当a=3时，S=n÷2＋2 

             当a=m时，s=n÷2＋m－1