4.用简便方法计算下列各题：

①958-596 ②1543+498

 

110

 

5.巧算下列各题：

①5000-2-4-6-…-98-100

②103+99+103+96+105+102+98+98+101+102

6.求下列数据的平均数：

199，202，195，201，196，201

二、乘除法中的巧算

在进行加法、减法、连加、连减或加减混合运算时，可利用加法的运算定律或连

减及加减混合运算的性质进行简便运算。而乘、除法更有着一些巧妙的简便的运算方

法，下面就让我们来学习有关的运算定律及运算性质。

(一)乘法中的巧算。

1.乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

一般的，有 a×b＝b×a。

2.乘法结合律 三个数相乘，可以把前两个数结合起来先乘，也可以把后两个数结合起

来先乘，积不变。

一般的，有 a×b×c＝(a×b)×c＝a×(b×c)。

这里应注意：如果推广到多个数相乘，我们可以选择两个因数相乘，得出较简单

的(整十、整百、整千、……)积，再将这个积与其他因数相乘；有时也可以把某个因

111

 

数再分解成两个因数，使其中一个因数与其他的乘数的积成为较简单的数，然后再与

其他的因数相乘，这样就可以进行巧算。

例 1 用简便方法计算下列各题：

(1)16×4×25； (2)125×(17×8)；

(3)125×28； (4)25×32×125。

分析与解 (1)题可将 4 和 25 结合起来先乘；(2)题可将 125 和 8 结合起来先乘；(3)

题可把 28 变为 4×7，再将 125 和 4 结合起来先乘；(4)题可先把 32 变为 4×8，再把

25 和 4，125 和 8 结合起来先乘。

(1) 16×4×25 (2)125×(17×8)

＝16×(4×25) ＝(125×8)×17

 

＝16×100

＝1600；

 

＝1000×17

＝17000；

 

(3)125×28 (4)25×32×125

＝(125×4)×7 ＝(25×4)×(8×125)

 

＝500×7

＝3500；

 

＝100×1000

＝100000。

 

112

 

 

3.乘法分配律两个加数的和与一个数相乘，可以用每一个加数分别与这个数相乘，

再把所得的积相加。

一般的，有 (a+b)×c＝a×c+b×c。

这里应注意：乘法的分配律可以进行推广，一般的，有(a-b)×c＝a×c-b×c。当

两个数相乘时，有时可以把一个因数变为两个数的和与另一个因数相乘；也可以把一

个因数变为两个数的差与另一个因数相乘，这样可使计算简便。

例 2 用简便方法计算下列各题：

(1)125×(10＋8)； (2)(20-4)×25；

(3)4004×25； (4)125×798。

分析与解 (1)、(2)题可直接运用乘法分配律及其推广；(3)题可先把 4004 变为(4000

＋4)，再运用分配律；(4)题可先把 798 变为(800-2)，再运用分配律的推广。

(1) 125×(10＋8) (2)(20-4)×25

＝125×10+125×8 ＝20×25-4×25

 

＝1250+1000

＝2250；

(3) 4004×25

＝(4000+4)×25

 

＝500-100

＝400；

(4)125×798

＝125×(800-2)

 

113

 

 

＝4000×25+4×25 ＝125×800-125×2

 

＝100000＋100

＝100100；

(二)除法中的巧算。

 

＝100000-250

＝99750。

 

1.商不变的性质：被除数和除数同乘以或同除以一个数(零除外)，它们的商不变。

一般的，有

a÷b＝(a×n)÷(b×n)＝(a÷n)÷(b÷n)(n≠0)。

2.两个数的和(差)除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数(在都能整除的情

况下)，再求两个商的和(差)。

一般的，有 (a+b)÷c＝a÷c+b÷c；

(a-b)÷c＝a÷c-b÷c。

这个性质也可以推广到多个数的和除以一个数的情况。

3.乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质：

(1)两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的

除数。

一般的，有 a÷b÷c＝a÷c÷b。

114

 

 

(2)两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因

数相乘。

一般的，有 a×b÷c＝a÷c×b＝b÷c×a。

以上这两条运算性质，说明在连除、乘除混合运算时，可以交换因数、除数的位

置，在交换位置时，也要连同运算符号一起“搬家”。

例 3 用简便方法计算下列各题：

(1) 825÷25；

(2)47700÷900；

(3) (250+165)÷5；

(4)(702-213-414)÷3；

(5) 525÷7÷5；

(6)128×5÷8。

分析与解 (1)、(2)题可运用“商不变”的性质；(2)、(3)题运用“两个数的和(差)

除以一个数”的除法运算性质；(5)、(6)题运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性

质。

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(1)825÷25

＝(825×4)÷(25×4)

＝3300÷100

＝33；

(3)(250+165)÷5

＝250÷5+165÷5

＝50+33

＝83；

(5)525÷7÷5

＝525÷5÷7

＝105÷7

＝15；

4.乘除混合运算去括号的性质：

 

(2)47700÷900

＝(47700÷100)÷(900÷100)

＝477÷9

＝53；

(4)(702-213-414)÷3

＝702÷3-213÷3-414÷3

＝234-71-138

＝25；

(6)128×5÷8

＝128÷8×5

＝16×5

＝80。

 

(1)一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。

一般的，有 a÷(b×c)＝a÷b÷c。

 

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(2)一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数。

一般的，有 a×(b÷c)＝a×b÷c。

(3)一个数除以两个数的商，等于这个数除以商中的被除数，再乘以商中的除数。

一般的，有 a÷(b÷c)＝a÷b×c。

上面的三个性质，使我们看出这样的规律：乘除混合运算的算式中，如果括号前

是除号，去掉括号改变运算顺序时，要把括号内的除号变乘号，乘号变除号。如果括

号前是乘号，则不需要改变括号内的运算符号。反之，算式需要添括号改变运算顺序

时，规律也是如此。

需要注意的是：我们在使用以上全部除法的运算性质时，必须具备的条件是——

商不能有余数。如果商有余数，在使用这些运算性质时余数是会发生变化的。如：

324÷(9×7)324÷(9×7)

＝324÷63＝324÷9÷7

＝5……9＝36÷7

＝5……1