例 4 在图 8 中的 A，B，C，D 处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。

分析与解 从第一行和对角线可得，

A＋7＋D=A＋10＋6

7＋D=16

D=9

这样幻和=9＋15＋6=30

从第一行中可求出

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A=30-（7＋9）=14；

从第二行中可求出 B=30-（10＋15）=5；

从第三行中可求出 C=30-（11+6）=13。

例 5 在 3×3 的阵列中，第一行第三列的位置上填 5，第二行第一列的位置上填 6，如

图 9。请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均

为 36。

分析与解 为了叙述方便，我们将其余格内的数用字母表示，如图 10。

因为幻和为 36，所以可求出中心数为：

36÷3=12，即 C=12。

从第二行中可求出 D=36-（6＋12）＝18；

从对角线中可求出 E＝36-（5＋12）=19；

从第一列中可求出 A=36-（6＋19）=11；

从第一行中可求出 B=36-（11＋5）=20；

从第二列中可求出 F=36-（20+12）＝4；

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从第三列中可求出 G=36-（5＋18）=13。

得到的三阶幻方如图 11。

从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。

利用幻和=中心数×3 这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数；在已知中

心数的情况下，可求出幻和，以便其他数的求出。

练习七

1.用 1～9 这九个数字补全图 12 中的幻方，并求出幻和。

2.用 3～11 这九个数补全图 13 中的幻方，并求出幻和。

3.在图 14 的空格中填入不大于 15 且互不相同的自然数（其中已填好一个数），

使每一横行、竖列和对角线上的三个数之和都等于 30。

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每一竖行、两条对角线中三个数的和都相等。

 

的圆内，使每一横行、

 

5.将九个连续自然数填入 3 行 3 列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及每一

条对角线上三个数的和都等于 45。

6.将从 1 开始的九个连续奇数填入 3 行 3 列的九个空格中，使每一横行、每一竖

列及两条对角线上的三个数之和都相等。

八、逻辑推理

在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现任何图形，因而，

它既不是一个算术问题，也不是一个几何问题。

也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题，但在解决它们的过程中却很

少用到算术或几何知识。

57

 

 

所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突

破口，由此入手，进行有根有据的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案。这

类问题我们称它为逻辑推理。

例 1 在一桩谋杀案中，有两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受到讯问。

第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。”

第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。”

第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是真的。”

第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”

通过调查研究，已证实第四个证人说了实话，请你分析一下，凶手是谁？

分析与解 题目中条件较多，且四个人的证词有真有假，在这种情况下，要善于抓住关

键，由此入手进行有根有据的逐步推理。本题的关键是：第四个人说了实话。

因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词是伪证，也就是说“前两个证词中

至少有一个是真的”是句假话。由此可以断定，第一个和第二个证人都说了假话。从

而判断出甲和乙都是凶手。

注意：像上面的例题，从众多的条件中抽取关键的条件，往往是进行分析和推理

的突破口。

例 2 某车间新调来三名青年工人，车间赵主任问他们三人的年龄。

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小刘说：“我 22 岁，比小陈小 2 岁，比小李大 1 岁。”

小陈说：“我不是年龄最小的，小李和我差 3 岁，小李是 25 岁。”

小李说：“我比小刘年岁小，小刘 23 岁，小陈比小刘大 3 岁。”

这三位青年工人在他们每人说的三句话中，都有一句是错的。请你帮助赵主任分

析出他们三人各是多少岁？

分析与解 本题类似于例 1，首先应找到解决问题的突破口。但本题又不完全同于例 1，

并不知道哪句话真，哪句话假。所以解决本题的首要目标是先确定一句话是真还是假。

经过审题，仔细分析这九句话，不难发现有两句话是相互矛盾的。一句话是小刘

说的第一句话：“我 22 岁”，另一句话是小李说的第二句话：“小刘 23 岁”。这两

句话不能都真，必有一句是假的。为了确定这两句话的真假性。可以先假设某一句为

真，如果推不出矛盾，本题就获得了解决；如果推出矛盾，就说明这句话是假的，从

而也就找到了突破口。

先假设小刘说的第一句话“我 22 岁”为真，那么小李说的第二句话“小刘 23 岁”

就为假，因此小李的另外两句话就应该是真话，从“小陈比小刘大 3 岁”就推出小陈

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是 25 岁；又从“我比小刘年岁小”推出小李小于 22 岁。可是这样一来，小陈说的三

句话中，“小李和我差 3 岁”和“小李 25 岁”这两句话都不能成立，这与本题中的要

求（“每人说的三句话中，都有一句是错的”，即三句话中有两句话是真的）相矛盾。

因此，小刘说的“我 22 岁”这句话是假的。

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由于小刘说的第一句话是假的，所以后两句话就是真的。因此，小李说的第三句

话“小陈比小刘大 3 岁”就是假的，所以，小李说的第二句话“小刘 23 岁”就是真的。

于是就可以推出：小李 22 岁，小陈 25 岁，小刘 23 岁。

注意：这道题我们采用的解题方法是：先假设，然后根据已知条件，进行正确的

推理。如果推出矛盾，则说明假设不合理，由此得到与假设相反的结果。如果由假设

出发，没有推出矛盾的结果，则说明假设合理。这种方法就叫假设法，是我们解题中

常用的一种方法，希望同学们能够掌握。