3.下面算式中的每一个字母代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的

字母代表不同的数字。问它们各代表什么数字时，算式成立？

48

 

4.一个六位数 ABCDEF，各位上的数字均不相等，它乘以 3、乘以 5 分别是：

这个六位数是____。

七、三阶幻方

在 3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上 1～9 这 9 个连

续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图

形叫做三阶幻方。

如果是在 4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在 4×4 方格中

填上 16 个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和

均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。

幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，

直到任意阶。

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一般地，在 n×n（n 行 n 列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上 n×n 个连续的

自然数（注意，这 n×n 个连续自然数不一定非要从 1 开始），每个数占 1 格，并使排

在每一行、每一列以及每条对角线上的 n 个自然数的和都相等，我们把这个相等的和

叫做幻和，n 叫做阶，这样排成的数的图形叫做 n 阶幻方。

这里我们主要学习三阶幻方。

例 1 用 1～9 这九个数编排一个三阶幻方。

分析与解 先用 a，b，c，…，i 分别填入图 1 的九个空格内，以代表应填的数，如图

2。

（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。同时我们可以看到图 2 中 e

是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数

进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它

们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。如果 e 以及四个角上的数被确

定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和

幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3

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=45÷3

=15

（3）选择解题突破口

突破口显然是 e，在图 2 中，

因为 a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，

所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）

=15+15＋15＋15=60，

也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。

因为 a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i=45，

所以 45+3×e=60

所以 3×e=60-45

e=5

也就是说，图 1 中的中心方格中应填 5，请注意，这个数正好是 1～9 这九个数中

正中间的数。

（4）四个角上的数 a，c，g，i 的特点

先从 a 开始讨论：a 是奇数还是偶数。

51

 

如果 a 为奇数，因为 a＋i=10，所以 i 也是奇数。因为 a＋d＋g=15，所以 d 与 g

同是奇数或同是偶数。分两种情况：

①当 d、g 都是奇数时，因为 d＋e＋f=15，g＋h＋i=15，其中 e，i 都是奇数，所

以 f，h 也只能是奇数。这样在图 1 中应填的数有 a，d，e，f，g，h，i 这七个奇数，

而 1～9 这九个数中只有五个奇数，矛盾。说明 d，g 不可能为奇数。

②当 d，g 为偶数时，因为 d＋f=10，g＋h＋i=15，c＋g=10，因为 i 为奇数，所

以 f，h，c 只能是偶数，这样就有 c，d，f，g，h 五个偶数，而 1～9 这九个数中只有

四个偶数，矛盾。说明 d，g 都是偶数也不行。

所以 a 不能是奇数，那么只能是偶数，于是由 a+i=10 知，i 也是偶数。

用同样的方法可以得到 c，g 也只能是偶数。也就是说，图 1 中四个角上的数都应

填偶数。

（5）试验填数排出幻方

因为 e=5，a，c，g，i 是偶数，所以 a 的范围有 2，4，6，8 四个数，根据幻和等

于 15 进行试验：

当 a=2 时，i=8，c 可填 4，6。若 c=4，则有 g=6，b=9，d=7，f=3，h=1；若 c=6，

则有 g=4，b=7，d=9，f=1，h=3，这样填出两个三阶幻方。

当 a=4，6，8 时，请同学们自己用上面的方法进行试验填数，作为练习。

用 1～9 这九个数编排的三阶幻方有八个，如图 3 所示。

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说明：在上面图形中给出的用 1～9 这九个数编排的八个三阶幻方中的任何一个，

都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转，从而得到其余七个图形。因此，我们

把这八个图形给出的八个幻方算作是同一种三阶幻方。

例 2 如下图的 3×3 的阵列中填入了 1～9 的自然数，构成了大家熟知的三阶幻方。现

在另有一个 3×3 的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使得其中最大者

为 20，最小者大于 5，且每一横行、每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。

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分析与解 所给的三阶幻方中填入的是 1～9 这九个不同的自然数，其中最大的为 9，

最小的为 1，要使新编制的幻方中最大数为 20，而 9＋11=20，因此，如果在所给幻方

中各数都增加 11，就能构成一个新幻方，并且满足最大数为 20，最小数大于 5。

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例 3 请编出一个三阶幻方，使其幻和为 24。

分析与解 根据题意，要使三阶幻方的幻和为 24，所以中心数必为 24÷3=8。那么与 8

在一条直线上的各个组的其余两个数的和为 16。

1+15=16 2+14=16 3+13=16 4+12=16 5+11=16 6+10=16 7+9=16

按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方，其幻和为 24（如图 7）。