一题多解，发展学生的多向思维

安徽省太湖县小池镇中心学校 唐公卿

新课标指出：“重视发展智力，培养能力”；“要启发学生动脑筋想问题”；“逐步培养学生能够有条理有根据地进行思考，比较完整地叙述思考过程”。数学教学重在优化学生的思维结构，培养学生的思维品质和创新意识，促进学生思维的敏捷性和灵活性。

一题多解能克服学生的定势思维，发展学生的多向思维，拓宽学生的解题思路；又能把各种数学知识有条理有规律地进行整合，优化解题策略，寻找最佳解题方法。

例题：甲乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度，4小时相遇；现在两人都比原计划每小时少行1千米，那么5小时相遇。AB两地相距多少千米？

乍一看，似曾相识却又无从下手。认真推敲，还是有规律可循的，并且有多种解法，分析如下：

1、用假设法解：

A、从题中可知，现在两人比原计划每小时共少行1×2千米，假设两人以现在的速度只行4小时，那么4小时共少行2×4千米。即行4小时后还相距8千米。而现在是用5小时行完全程，也就是说这相距的8千米是现在（5-4）小时行完的，即现在两人每小时行8千米。这样可列综合算式为：1×2×4÷（5-4）×5

B、以现在的速度两人每小时行了全程的1/5，假设只行4小时，就行了全程的4/5。又从上面的分析可知他们还相距8千米，也就是全程的（1-4/5）。又可列综合算式为：1×2×4÷（1-4/5）

2、用工程问题解：

A、把AB两地路程看作单位“1”。两人原计划每小时行全程的1/4，现在每小时行全程的1/5，按原速度行驶的路程比按现速度行驶的路程多出一个全程所作的时间是1÷（1/4-1/5）小时，又知道两人原计划每小时比现在每小时多行1×2千米。这样AB两地距离可列综合算式为：1×2×[1÷（1/4-1/5）]

B、把AB两地路程看作单位“1”。两人原计划每小时比现在每小时多行全程的（1/4-1/5），而两人原计划每小时比现在每小时多行1×2千米，量率对应，全程为：1×2÷（1/4-1/5）

3、用分数知识解：

A、两人现在每小时行的路程是原计划每小时行的路程的（1/5÷1/4=4/5），这里把两人原计划每小时行的路程看作单位“1”，现在每小时行的路程与原计划每小时行的路程相差1×2千米，而现在每小时行的路程比原计划每小时行的路程少（1-4/5），量率对应，可知原计划每小时行1×2÷（1-4/5）千米。AB两地距离可列综合算式为：1×2÷（1-4/5）×4

B、两人原计划每小时行的路程是现在每小时行的路程的5/4，依照上面的方法类推，可知现在每小时行1×2÷（5/4-1）千米。AB两地距离又可列综合算式为：1×2÷（5/4-1）×5

4、用比和比例知识解：

A、两人原计划每小时的路程与现在每小时的路程的比是1/4：1/5=5：4，这样可以把两人原计划每小时行的路程看作5份，把现在每小时行的路程看作4份，相差（5-4）份，相差1×2千米，可知每份为2千米。那么两人原计划每小时行2×5千米，现在每小时行2×4千米，从而可以列综合算式为：1×2÷（5-4）×5×4或1×2÷（5-4）×4×5

B、两人原计划每小时行的路程与现在每小时的路程的比是5：4。

解：设AB两地相距X千米，那么两人原计划每小时行X/4千米，两人现在每小时行X/5千米，根据比相等的原则可列比例为：X/4：（1×2）＝５：（5-4）或X/5：（1×2）=4：（5-4）

5、用方程法解：

解：设AB两地相距X千米，两人原计划每小时行X/4千米，两人现在每小时行X/5千米，相差1×2千米，可列方程为：X/4-X/5=1×2

6、求最小公倍数法解：

转换思维方式：把AB两地可以看作一条封闭的曲线，两人原行驶方式和现行驶方式可以看作两种物体的运动形式。两种物体进行一个周期性（多行一个全程）的重合，需要多长时间，也就是求4和5的最不公倍数：4×5小时，即20小时，原计划比现在多行1×2×20千米，即AB两地的距离。

这样多角度思考解答，既便于沟通知识之间的内在联系，又便于掌握解题的思路和方法。因此，在教学中，有必要强一题多解的训练，引导学生进行解题后再思考，诱导学生从多角度、多方位去认识问题、解决问题，达到最优解题方案，锻炼和发展学生的多向思维，从而达到培养学生智力和能力的目标。在教学中，鼓励学生在探索中发现问题，通过师生合作学习解决问题，培养学生的自主探究意识和探究习惯，获取多向思维的发展，使学生具有主动积极的参与精神和创新精神，使学生具有成功感和愉悦感，真正体现了教育应人为本，以促进人的个性、特长发展为目标的新理念。