一、内容简介及设计理念

   本节课是在学生充分认识了圆的各部分的特征和掌握了园的周长的计算的基础上进行教学的。通过对圆面积的研究，使学生初步掌握研究曲线图形的基本方法，为以后学习圆柱的表面积打下基础。本课的教学要求主要是帮助学生理解和掌握圆面积的计算公式，培养学生观察、操作、分析、概括等能力。本节课设计了三次探究活动，第一次探究活动，通过折一折和剪拼把圆转化成已经学过的三角形和平行四边形，得到了解决问题的思路。第二次探究活动，围绕着“怎样使折出的图形更像三角形”、“使剪拼后的图形更像平行四边形”这些问题开展操作、想象活动，充分体验了“极限思想”。第三次探究活动，学生借助数字、字母、符号等，运用数学的思维方式进行思考，推导出圆的面积计算公式。

   二、教学目标：

1. 经历圆的面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

2. 能正确运用圆的面积计算公式计算圆的面积。

3. 在探究圆的面积计算公式的过程中，体会转化的数学思想方法；初步感受极限的思想。

   三、教学重点和难点：

圆的面积计算公式的推导。

   四、教学准备：

圆形纸片、剪刀、多媒体课件等。

   五、教学过程：

教学过程   教师活动 学生活动

一、谈话引入，揭示课题

二、探究新知。

1、 第一次探究，明确思路，体会“转化”的数学思想方法

 

2、 第二次探究，明确方法，体验“极限思想”

3；第三次探究，深化思维，推导公式。

4、 解决问题

5、小结

三、知识应用 (出示一个圆)大家看，这是什么图形？

师：你已经掌握圆的哪些知识？

师：关于圆你还想探讨什么？

(板书课题：圆的面积。)

师： 谁能摸一摸这个圆片的面积。

师：那这个圆的面积怎么求呢？(学生沉默)，请你在大脑中搜索一下，以前我们研究一个图形的面积时，用到过哪些好的方法？

师：那圆能不能转化成我们学过的图形呢？请大家利用手中的圆纸片，先想一想，再动手试一试，然后在小组内交流一下。（教师巡视[【评析】“圆”作为一种由曲线围成的图形，与学生头脑中熟悉的由直线段围成的图形(如长方形、平行四边形等)差别比较大，因此当老师提出“怎么求圆的面积呢”，学生感到很茫然。此时，学生最渴望得到老师的指点。作为教师，如何施展自己的“点金”术，取决于教师的教学理念。在这里，老师没有直截了当地讲“方法”，而是从培养学生的解题能力入手，引导学生从头脑里检索已有的知识和方法：“以前我们研究一个图形时，用到过哪些好的方法？”这样设计，既在学生迷茫时指明了思考的方向和方法，又让学生把“圆”这个看似特殊的图形(用曲线围成的图形)与以前学过的图形(用直线段围成的图形)有机地联系起来了，沟通了知识之间的联系，促成了迁移。

]。)

师：好，同学们停一停。刚才老师发现有的小组已经有想法了。我看你们小组的想法就很好，谁代表小组上来说一说？大家认真听，看看他们是怎么想的。

师：噢，你想把圆转化成我们学过的三角形来求它的面积。

师：谁还有不同的方法？

 

师：这像我们学过的什么图形？

师：你想把圆转化成平行四边形来求它的面积，是不是？

师：刚才同学们有了两种思路，可以把圆折一折，想转化成三角形，还可以通过剪拼把圆转化成平行四边形，不论哪种方法，都是把圆转化成学过的图形来求它的面积。（板书：转化[【评析】通过第一次探究，学生产生了两种很有价值的思路。即通过折一折，把圆转化成近似的三角形；通过剪拼把圆转化成近似的平行四边形。教师设计了“你们发现这两种方法的共同点了吗”这一关键问题，旨在引导学生通过回顾反思，达到渗透“转化”这一数学思想方法的目的。]。）

师：同学们刚才也发现了，不管是折出的图形，还是剪拼出的图形，都不是很像三角形，怎样让它更接近这些图形呢？是不是得进一步研究。请每个小组在两种思路中选择一种继续研究。

师：各个小组都研究出结果了，谁想先来展示一下？请你们小组先说。

师：为什么要折这么多份？

师：你们同意吗？这就是把圆折成16份时其中的一份(贴在黑板上)，和刚才平均分成4份中的一份相比，确实像三角形了。如果想让折出的形状更接近三角形，怎么办？

师：你继续折给大家看看。(学生折起来很费劲)看来同学们再继续折纸有困难了，老师在电脑上给大家演示一下。这是同学们刚才把圆平均分成16份的形状(课件演示“正十六边形”)，这一份看起来像是三角形了。现在我们再把它平均分成32份，有什么变化？(课件演示，并突出其中一份的形状。)

师：你发现了什么？

师：如果分的份数再多呢？请大家闭上眼睛想象一下，如果把圆平均分成64份、128份……分的份数越来越多，那其中的一份会是什么形状？

师：同学们，用这个方法，成功地把求圆的面积转化成求三角形的面积，你们的方法真好。有不一样的方法吗？(一个小组迫不及待地举手想发言)请你们小组派个代表展示你们的成果。

师：这个方法还真不错，这个小组把圆剪成8份(把这个小组的作品贴在黑板上)，和刚才剪成4份拼成的图形相比，有什么变化呢？

师：能让拼成的图形更接近平行四边形吗？

师：哪个小组分的份数更多？

(教师让另一组展示自己平均分成16份后拼成的图形。)

师：和前两次拼成的图形比，又有什么变化？

师：如果要让拼成的图形比它还接近平行四边形，怎么办？

师：我们让电脑来帮忙。大家看，老师在电脑上把这圆平均分了32份，看拼成新的图形，你有什么发现呢？(课件演示。)

师：把这圆平均分了64份，看拼成新的图形呢？

展开全文阅读

师：你发现了什么？

师：刚才大家通过剪拼把求圆的面积转化成求长方形的面积，大家看，把圆转化成长方形，形状变了，什么没变呢？

师：这样求出了长方形的面积，也就求出了圆的面积[【评析】学生沿着自主探究出来的思路继续研究时，一方面，从直觉上认为这样继续折下去或继续剪拼下去得到的图形一定会越来越像“三角形”或“平行四边形”，但最终能不能说就是“三角形”或“平行四边形”了呢？对处于小学阶段的学生来说，此时不免有几分困惑。在这里，老师有效利用学生探究出来的宝贵资源，围绕着“怎样更像”进行了一次又一次的追问，同时又引导学生在操作的基础上进行想象，再充分利用课件的优势，弥补操作与想象的不足，让学生真切地看到了“自己想象的过程”，充分地体验了“极限思想”。]，这种方法也很好。

师：可数学学习不仅停留在动手操作上，你得还会用数字、字母和符号把它表示出来。每个小组能不能在刚才研究的基础上，推导出圆的面积计算公式呢？这可是一个很有挑战性的任务！大家有没有信心完成？

师：刚才大家利用圆纸片折的、剪拼的图形都不太标准，老师给大家准备了屏幕上呈现的这两种方法的示意图帮助你思考，大家可以对照示意图把推导的过程写在图的下面。

(教师按照每个小组选择的方法分发学具。学生讨论，教师巡视指导。)

师：谁想展示你们的想法？

师：大家听清楚了吗？谁愿意再起来说一说。

(教师再请一个同学说自己的想法。)

师：下面看电脑演示，把圆转化成长方形，面积是相等的。长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr×r=πr2。现在要求圆的面积是不是很简单了？知道什么条件就可以求出圆的面积了？

师：你们表现得真好！我们再来听一听这个小组的想法。

师：说得真好。

师：刚才两个小组推导的结果都是πr2，真是条条大路通罗马呀。圆的面积可以用S表示，圆的面积计算公式就是：S=πr2。现在看来，求圆的面积需要什么条件就可以了？

师：知道了半径，用π乘半径的平方就求出了圆的面积[【评析】第三次探究结果的交流，教师有意识地先让学生交流将圆转化成长方形求出圆的面积公式的方法，因为这种方法学生理解起来比较容易，是要求每个学生都要掌握的方法。

]。

师：现在你能求出黑板上这个圆形纸片的面积了吧？需要什么条件？谁来和老师一起来量它的半径？

师：面积是多少呢？请大家做在练习本上。

师：这节课大家有什么收获？

师：这是知识上的收获，在解决问题的方法上有没有什么收获呢？

师：同学们不仅学会了怎样计算圆的面积，更重要的是大家运用转化的方法，把圆这个新图形转化成了已经学过的图形，从而求出了圆的面积。以后大家遇到新问题，都可以尝试一下，看看能否把它转化成已经学过的知识来解决。

书70页练习  第2题。 生：圆形。

生1：圆的周长=2πr，圆的半径是直径的一半。

生2：在同一个圆的所有的半径都相等，所有的直径都相等。

生：圆的面积。

一生上台摸圆的面积。

生：可以把新图形转化成已学过的图形，比如平行四边形可以通过剪拼转化成长方形求出面积。

(学生活动。)

生1：我们把圆纸片对折得到4个三角形，求出一个三角形的面积，再乘4就能得到圆的面积。

生1：我们想把圆沿着半径剪成4个扇形，把这些扇形重新拼一拼，拼出的图形有些像平行四边形。

生：平行四边形。

小组继续合作

生1：我们把圆对折平均分成16份，折出的形状很像是三角形。用一个三角形的面积乘三角形的个数就能得到圆的面积。

生1：因为折成4份的话，折出的形状是扇形，和三角形相差太大。折的份数越多，折出的形状越像三角形。

生2：可以继续折纸，把圆平均分的份数再多一些，分成32份。

观看课件

生：分的份数越多，其中的一份越像三角形。

生：其中的一份基本上是三角形了。

生3：我们把圆平均分成8份，剪下来是8个近似的三角形，拼在一起是个近似的平行四边形。

生：更像了。

生3：可以把圆分的份数再多一些。

生4：我们把圆剪成16份，拼成了平行四边形。(把这个小组的作品贴在黑板上。)

生4：更像平行四边形了。

生4：可以继续分下去，分成32份，64份，128份……

生：更接近于平行四边形了，有些像是长方形了。

生：拼成的图形更接近长方形。

生：分的份数越多，剪拼成的图形更接近长方形。

生：面积。

生：有！

每个小组选择的方法分发学具。学生讨论，教师巡视指导。

生1：(剪拼法)把圆剪一剪、拼一拼变成了长方形，它们的面积是相等的。长方形的长相当于圆周长的一半，用C÷2=πr表示，宽相当于半径，用r表示。长方形的面积=长×宽，圆的面积=πr×r=πr2(实物投影呈现)。

生：圆的半径。

生2：把圆平均分成32份，三角形的底是C÷32，高是半径r。圆的面积=C÷32×r÷2×32=2πr×r÷2=πr2。

生：圆的半径。

一生上台量说：半径是10厘米

生1：我会求圆的面积了，公式是S=πr2。

生2：可以把圆转化成学过的图形推导出圆的面积计算公式。

我的反思：

一、 体现“以学生发展为本”的理念，充分满足学生探究的需求

苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，总有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。”而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。本堂课上，我通过“圆能否转化成我们学过的图形呢”、“怎样能让转化后的图形与三角形(平行四边形)更接近呢”、“数学学习不仅需要动手操作，更需要动脑思考。能否在刚才研究的基础上推导出圆的面积计算公式呢”三个紧密联系又层层递进的问题，激发了学生强烈的探究愿望，因此引发了学生浓厚的学习兴趣。在这一内驱力的作用下，学生们根据自己的知识经验，自主探究，交流合作，大胆尝试，用自己独特的方式去解决问题。教师没有把自己的意图强加于学生，而是充分满足学生的探究需要。整节课在充分尊重学生思维发展的过程中，教师适时地加以引导、点拨，使学生学习的方向始终清晰明确。在探究的过程中，学生思维活跃，争相交流，不断迸发出创新思维的火花，真正体会到了数学探究的魅力。学生学习数学的过程是一种“再创造”的过程，在这一过程中，学生要通过自己的操作、观察、想象和思考，自主发现，合理建构数学知识体系。本堂课上，我没有局限于传统的把圆剪拼成长方形的方法，而是根据学生在课堂上的思维生成，引导学生对圆转化成三角形和长方形两种方法进行尝试，为学生搭建了自由探究的平台，给学生充足的探索时空，引导学生从多方位去思考问题，自主发现，从而用不同的思路推导出圆的面积计算公式，既培养了学生思维的灵活性，又使学生亲身经历了数学知识的形成过程，同时也培养了学生的探索精神和创新意识，发展了学生的个性。二、 注重学生的个性差异，构建开放的、富有挑战性的课堂教学模式

学生的数学学习存在着差异，因此必须从“为少数学生的教学”转变到“为一切学生的教学”这一目标上来。为此，本堂课上，我不仅重视自己“教”的设计，更重视学生“学”的经验。根据学生学习上的个性差异设计不同层次的教学，让学生主动参与，自主探索，找到解决问题的各种途径，让不同的学生表现出不同的思维过程，让不同思维特点的学生都有机会表达出自己的探究过程，真正使不同层次的学生得到不同程度的发展，使“学”的过程成为激活思维的、开放的过程。当我把“能否把圆转化成我们学过的图形呢”这个问题抛给学生并让学生在小组内探索交流时，学生的个性差异表现得非常明显：有的学生把纸片进行对折，发现圆对折后的图形有些像是三角形，还有的同学会在此基础上把圆进行剪拼，发现剪拼后的图形有些像平行四边形。这时我并没有马上表现出明确的导向性，没有对两种方法的优与劣作出判断，而是引导学生按照自己的思路继续研究下去。这时每个小组的同学都对自己的思路充满信心，积极而投入地继续进行研究，通过几个层次的小组合作，交流展示，反思改进，验证猜想，两种方法并行前进，使课堂显得丰富多彩，自然开放。学生在充分感受极限思想，理解转化策略之后，利用教师发放的示意图推导面积公式，学生的基础差异又显现出来。有的学生能马上捕捉到有效信息，寻找转化前后图形间的关系，自主推导出公式。有的同学则显得无所适从，找不到解决问题的突破口。这时我把解决问题的主动权放给学生，引导学生在小组内交流合作，同学之间可以互相质疑补充，在不断的交流、碰撞、补充中逐渐明确思路，解决问题。

展开余文

三、 倡导并努力实现“动手实践、自主探索与合作交流”的学习方式

《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”遵循这一理念，我引导学生在探索圆的面积的计算方法的过程中，经历了三个阶段：

(1) 独立尝试，明确思路。学生明确“怎样把圆转化成学过的图形”的任务后，直接让小组讨论研究。在小组有了初步的思路后组织交流：第一小组的思路是把圆对折两次变成扇形，求出一个扇形就能求出整个圆形的面积。第二小组的思路是把圆对折两次，然后把它们剪开再拼成平行四边形，从而求出圆的面积。根据学生学习的差异引导学生在交流中梳理思路、比较方法，然后改进自己的探究思路，从而找到正确的解决问题的思路。

(2) 明确方法，体会“极限思想”。学生沿着自主探究出来的思路继续研究时，一方面，从直觉上认为这样继续折下去或继续剪拼下去，得到的图形一定会越来越像“三角形”或“平行四边形”，但最终能不能说就是“三角形”或“平行四边形”呢？对处于小学阶段的学生来说，此时不免有几分困惑。在这里，先让学生利用学具继续操作，发现圆平均分的份数的多少与拼成的图形之间的关系。再利用学生探究出来的宝贵资源，围绕着“怎样更像”进行了一次又一次的追问，同时又引导学生在操作的基础上进行想象，并充分利用课件的优势，弥补操作与想象的不足，让学生真切地看到了“自己想象的过程”，充分地体验了“极限思想”。在这个过程中学生思维在交流中碰撞，在想象中得以提升，分析问题和解决同题的能力得到了提高。

(3) 深化思维，推导公式。在第二次探究中，学生主要是借助学具进行动手操作，明晰了求圆的面积的方法。操作对于小学生学习数学是必不可少的手段和方法，但数学思维的特点是要进行逻辑思考和推理。因此在这里，我用下面的这段话“数学学习不仅需要动手操作，更需要借助数字、字母和符号等进行动脑思考和推理”把学生的思考推向深入。另外，在第二次探究中，学生有的折出的图形不够规范，有的剪拼活动还没有结束，但思路和方法都已经理解到到位了。在这种情况下，利用两种方法标准的示意图，正确地处理了操作与思维的关系。这时学生再进行计算公式的推导显得水到渠成，浑然天成。在学生的探索活动中，三次小组合作任务明确，活动积极，富有成效。首先，提供有价值的问题进行小组合作探究。问题的设计如果过于简单激不起学生讨论的兴趣。如果太难，学生的参与面又不广。在遵循学生认知的基础上，设计了难度适宜的三个问题，有效引领了学生的合作探索。其次，留足合作探索的时间和空间。学生在探索圆的面积计算公式时，我并没有告诉学生“剪拼”的方法，而是充分放手让学生去探索。事实证明，只要有足够的时间，学生能够探索出课堂中展示出的两种思路，而且在这一任务的驱动下，学生研究的兴趣非常浓厚，讨论得非常投入而热烈，小组汇报时表达得非常充分而有创意。第三，重视小组合作的结果，更重视合作探索过程中的感受与体验。学生能利用多种方法推导圆的面积公式，很大原因是没有被教师的框框所束缚，是在小组合作学习中，亲自参与了知识的形成过程,情知互动，互相促进，增强了合作学习的有效性。在三次探索活动中，我把重心放在了让学生经历探索过程，体验数学思想方法等过程性目标上，至于通过练习形成计算技能及解决实际问题的能力等都安排在以后的几个课时中去完成。