全都是“0”惹的祸

甘肃宁县城关小学  张朝阳  邮编：745200  

【关键词】0、自然数、奇数、偶数、最小的一位数、可能性

在我校最近的考试中，一道判断题引起了关于最小一位数的争议，一种观点认为0是最小的一位数，一种观点认为1是最小的一位数。

观点一论者拿出某杂志上刊登的某省教学研讨活动简报，其中有某中学校长和与会代表的座谈纪要，一代表便提出这一问题就教于该校长，校长解释道“原来一直认为1是最小的一位数，现在的教材把0也归到了自然数之中，那最小的一位数也理应改为0. ”。

笔者就是观点二的代表，尽管有人提到阐发第一种观点的是校长、是权威，应以权威观点为准。请问我们是要真理，还是要权威？再者，校长在职务上有权威，不能断定他在学术上也是权威，况且他也是即兴解答、未作深思。

我之所以认为“1是最小的一位数”，理由如下：

理由一：0表示没有，那就单独的0而言，就不含有数位，所以，0 根本就不能称为一位数。

理由二：如果0是最小的一位数，那么我们便可以认为00是最小的两位数，000是最小的三位数……这样的结论有价值吗？

理由三：在整数范围内，0 只有放在非0数字右面才占数位，这是一个不争的公理。如240－210＝？结果不能写成030一样，因为最左面的0不占数位，就是写成“030”它也是两位数。而85－85＝？的结果是一个也没有，本可以什么都不写，但别人会认为你没有表态，为了将没有表态和没有东西进行区别才有了“0”这个特殊的符号，单独的“0”不在非0数字之右，当然也不占数位了，不占数位何来位数？很显然，创造“0”的人是把“0”归到数的家族里面了，现在也承认它是自然数了，但并没有肯定凡数必有数位。因此，只有将“0”放在“1——9”这些有实际意义的数字之后组成新的数时才占数位，此时的占位是为了确立其高位非0数字的数位。

理由四: 数位是数量的载体，用来承载有量的数，拥有数位的首先必须是有量的客观存在。存在即“有”，是可物化的，除0外的其他自然数都可以与具体的物体建立起对应关系，都可具象化，唯0无法和物体建立对应关系，从这个意义上说‘0只是一个纯粹的概念而已，有数无量，不具有客观存在’，也就是说‘单独的0根本不需要数位之舟来承载’，这是决定0单独不占数位的本质。

理由五：若单独的0是有数位的，为何不能和其他自然数发挥同等的作用，却要在很多情况下剥夺其参与权利？“0除外”的情况还少吗？在除数中——0除外；在分母中——0除外；在比的后项中——0除外；在商不变定律中——0除外；在分数的基本性质中——0除外；在比的基本性质中——0除外；在倍数、因数中    ——0除外……这都是因为0的一无所有而在很多情况下没有意义。

理由六：百位的计数单位是最小的三位数——100，十位的计数单位是最小的二位数——10，个位的计数单位是最小的一位数——1。除0以外的自然数都是由这些基本单元累积而成，如果承认0占有数位、最小的一位数是0，就要承认个位的计数单位是0，那么请问：一位数4表示几个0呢？尴尬随之而来。

理由七：正因为最小的一位数是1，所以有这样的规律：一位数共有9个，不含0；二位数共有90个，不含00、01、02、03、04、05、06、07、08、09；三位数共有900个……一个最大的两位数加上一个最小的一位数得到一个最小的三位数，一个最大的三位数加上一个最小的一位数得到一个最小的四位数……如果0 是最小的一位数，这些规律便毫无意义。

这里我要提醒大家注意区分“数与号码”、“数与温度”、“数与几位数”，不是所有的数都可以归到几位数之中。

那么，最小的一位数能否进行人为规定呢？我认为不能。人为规定的都是比较独立的事件，里面不用讲道理，只是为了让大家统一认识、便于交流，而最小的一位数是谁，牵扯到各种相关知识、里面存在太多的道理，对此类问题的内涵、外延、从属等的定性，会牵动与之关联的每一根神经，在处理时一定要用科学的、严谨的态度慎重对待，切不可过于随便。若处理不当，难免在许多情境中自相矛盾，很难自圆其说，其结果是造成学术上的模糊，教学中的混乱。

以上理由能让你接受“1是最小的一位数”这一观点吗？我再次提醒大家在学术问题上不要迷信领导权威，就是学术权威也偶有出错的时候。

下面咱们再回到对那道判断题的探讨，题目是“三位数乘一位数，积可能是三位数，也可能是四位数。”对于该题的判断也形成了两种意见，持“最小的一位数是1”观点的教师认为该题是对的;持“最小的一位数是0”观点的教师认为该题将可能的结果没有列举完，还可能出现第三种结果，即当这个一位数是0时，积是一位数0，该题应判错。

我认为对于此题的判断与“0 是不是一位数”的争议无关，不管0 是不是一位数，该题都应判对。请你再将题目细读几遍，该句话中两次出现“可能”这一词语，应该说该题是对乘积位数可能性作出的判断，是考察可能性的题目。三位数乘一位数，不管积有没有其它可能，但积是三位数或四位数的可能性是勿庸置疑的，原题的判定何错之有？请与以下事例进行类比，“盒中有红、黄、蓝三种球，从中摸出一个，可能是什么颜色的球？”生1说：“可能是红球”，生2说：“可能是红球，也可能是黄球。”你能说他们的判断是错的吗？总不能因为有第三种可能，就否定前两种可能性的存在吧？因为题目并没有要求将所有的可能都列举出来呀！何况该生用“可能是……也可能是……”的措辞判定为可能事件，并没有用“不是……就是……”判定无第三种可能，更没有用“一定”判定为必然事件。原题亦然。

在这里我还想阐述一下0在奇数、偶数中的角色问题。现在的教辅资料和老师们普遍把0归到了偶数之中，理由是0能被2整除。诚然，对偶数的定义是：能被2整除的数是偶数。首先让我们就研究奇数、偶数的初衷做些推敲，奇数、偶数等同于生活中常说的单数、双数，是以研究个体能否完全配对为出发点的，所以定义中所说的“数”应该是指可以物化的、非0的数。试想：0既然一个也没有，也就够不上个体，没有个体，如何成对？奇数、偶数都应该是个体的实集而绝非空集；我们知道任意两个奇数可以合并成一个偶数，而最小的奇数是“1”，至少要拿出两个1方可配成一对，显然，“一对”便是偶数的基本单元，无疑最小的偶数是2。个体在此中是何等的重要，有了个体的递增，才有了奇偶链的交替延伸，相反，有了个体的递减，才有了奇偶链的交替消减；我们还知道，偶数连续除以2最终可以得到一个奇数，而0呢？明知没有，却硬说它是单、是双，抑或是奇、是偶，岂不是上演了一出“皇帝的新装”？所以我认为：0既不是奇数，也不是偶数。

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但愿拙论能引起大家的争鸣，澄清这些悬而未决的焦点问题，统一认识、规范教学，以免给学生造成误导。