第一章 数和数的运算

考点1 数的认识

整数的知识结构图

一.整数和自然数

数物体的时候，用来表示物体个数的0，1，2，3，4•••叫做自然数。0是最小的自然数。一个物体也没有用0表示。没有最大的自然数。自然数的个数是无限的。1是自然数的单位。自然数是整数的一部分，在小学里，学习的整数都是自然数。

二.十进制计数法

一（个）、十、百、千、万••••••都叫计数单位。其中‘‘一’’是计数单位的基本单位。10个一是十，10个十是一百，••••••，10个1百亿是一千亿，••••••，相邻两个计数单位之间的进率都是十。这种计数的方法叫做十进制计数法。

三.整数的读法

读数时，要从高位读起，一级一级往下读，属于亿级和万级的要读出级名，每级末尾的0都不读，其他数位一个0或连续几个0都只能读一个0。

四.整数的写法

写数时，都是从高位起，一级一级往下写，哪个数位上一个单位也没有就在那一位上写0。

五.整数的改写

为了读写方便，常把一个比较大的多位数，写成用‘‘万’’或‘‘亿’做单位的数；有时也可以根据需要省略这个数某一位后面的尾数，写成近似数。省略一般根据‘‘四舍五入’’法。

六.整数大小的比较

比较整数的大小时，先看位数，位数多的数就大；位数相同，从高位看起，相同数位上的数大的那个数就大。

整数部分

小数部分

… 亿级 万级 个级

数位

… 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位 十分位 百分位 千分位 …

计数单位

… 千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 个 十分之一 百分之一 千分之一 …

小数的知识结构图

一.小数的意义

把整数‘‘1’’平均分成10份.100份.1000份••••••，这样的一份或几份分别是十分之几.百分之几.千分之几••••••，可以用小数表示。小数点右边第一位叫十分位，计数单位是十分之一（0.1），第二位叫百分位，计数单位是百分之一（0.01）••••••。小数部分的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。

二.小数的读法

读小数时，小数的整数部分按照整数的读法来读，小数点读做‘‘点’’，小数部分顺序读出每个数位上的数字。

三.小数的写法

写小数时，小数的整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每个数位上的数字。

四.小数大小的比较

比较小数的大小先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同，十

分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数就大。。。。。。

五.纯小数.带小数.循环小数

整数部分是0的小数叫做纯小数，纯小数比1小。整数部分是0的自然数（0除外）的小数叫做带小数，带小数比1大。一个小数的小数部分，从某一位起，有一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。依次不断重复出现的数字叫循环节。循环节从小数部分第一位开始的叫做纯循环小数，循环节不是从小数部分第一位开始的叫做混循环小数。

分数和百分数的认识

一.分数的意义

把单位‘‘1’’平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数叫做分数。表示其中一份的数就是分数单位。

二.分数和除法的关系

分数是一种数，除法是一种运算，它们是两个不同的概念，但是它们之间又有着密切的联系。

B分之A = A / B （B不等0 ））0 BB ( BB /b A

三. 分数的分类

四.分数大小的比较

分母相同的，分子大的分数较大。

分子相同的，分母小的分数较大。

分子.分母都不相同的，一般先通分再比较。

五.百分数的意义

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫做百分率或百分比。

六.分数、小数、百分数的互化

给写成分母是10,100,1000，……的分数后再约分

用分子除以分母

去 小 先 写

百 数 写 成

分 点 成 分

号 向 小 数

小 右 数 形

数 移 再 式

点 动 写 再

向 两 成 约

左 位 百 分

移 上 分

动 百 数

两 分

位 号

七.折扣.税率与利率

成数：几成就是十分之几，农业上常用的名词。

折扣：几折就是十分之几，商业上常用的名词。

税率：应纳税额与各种收入（销售额.营业额.应纳税所得额••••••）的比率。

利率：利息占本金的百分率。（利率由银行规定，有按年计算的，也有按月计算的）

利息的计算公式：利息=本金×利率×时间。

考点2 数的整数和分数、小数的基本性质

一．数的整除

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1.数的整除

（1）整除和除尽

整数a除以整数b（b不为0），除得商是整数而没有余数，我们就说数a能被数b整除，或数b能整除数a。

数a除以数b（b不为0），除得的商是整数或是有限小数，这就叫做除尽。如果商是无限小数，就叫除不尽。

整除和除尽的关系可以用图来表示：

整除是除尽的一种特殊形式，能整除的算式一定能除尽，但能除尽的算式不一定能整除。

（2）、约数和倍数

数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

约数 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。 约数和倍数都表示一个数和另一个数之间的关系，它们是互相依存的

倍数 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

“倍数”和“倍”的概念不同，“倍数”存在的前提是“整除”，“倍”则表示的是两个数相除的商，可以是整数、小数、分数等。

（3）.某些整数的整除特征

能被2整除的数的特征：个位上的数字是0,2,4,6,8.

能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或5.

能被3整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3整除.

能被9整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被9整除.

能被4,25整除的数的特征：末两位能被4或25整除.

能被8,125整除的数的特征：末三位能被8或125整除.

（4）.奇数和偶数

能被2整除的数是偶数。

不能被2整除的数是奇数。

奇数和偶数的运算性质

偶数+（或减去）偶数=偶数 奇数+（或减去）奇数=偶数

偶数+（或减去）奇数=奇数 奇数×奇数=奇数

偶数×偶数=偶数 奇数×偶数=偶数

偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1.

（5）.质数与合数

一个数只有一和它本身两个约数，这样的数就叫做质数（也叫素数）。

一个数除了一和它本身，还有别的约数，这样的数就叫做合数。

1既不是质数也不是合数。

（6）．质因数和分解质因数

每个合数都可以写成几个指数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数。

把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。

（7）.公约数和最大公约数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

公约数只有1的两个数叫做互质数。

求最大公约数的方法：

a．用分解质因数的方法，把公有的质因数相乘。

b．用短除法的形式求两个数的最大公约数

c．特殊情况如果两个数互质，它们的最大公约数是1。如果两个数中较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。

（8）.公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

求最小公倍数的方法：

a．用分解质因数的方法，把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘。

b．用短除法的形式求。

c．特殊情况下：如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。如果两个数中较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。

2．分数和小数的基本性质

（1）分数的基本性质

分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

应用分数的基本性质可以通分、约分。

（2）小数的基本性质

小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。

小数点位置移动引起小数大小变化。

小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍…。

小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍…。

考点3

一．四则运算的意义

1.加、减、乘、除四种运算统称四则运算。

2.加法的意义：把两个（或几个）数合并成一个数的运算叫做加法

3.减法的意义：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法中，已知的两个加数的和叫做被减数，其中的一个加数叫做减数，求出另一个加数叫做差。

4.乘法的意义：一个数乘以另一个数，是求几个相同加数的和的简便运算，或是求这个数的几倍是多少。

5.一个数乘一小数就是求这个数的几分之几、百分之几….是多少。

6.一个数乘以分数就是求这个数的几分之几是多少。

7.除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数求另一个因数的运算叫做除法。在除法中，已知两个因数的积叫做被除数，其中的一个因数叫做除数，求出来的另一个因数叫做商。

二．四则运算的法则

整数 小数 分数

加法 1. 相同的数位对齐

2. 从个位加起

3.哪一个数位上的数相加满几十，就向前一位进几

1.相同的数位对齐（小数点对齐）

2.再按整数加减法的法则计算

3.得数里的小数点要和加数、被减数、减数的小数点对齐

1.同分母分数相加减，分母不变，分子相加

2.异分母分数相加减。先同分，然后计算

3.结果能约分的要约分

减法 1.同数位对齐

2.从个位减起

3.哪一数位上的数不够减，就从前一位借几当几十

同单位相加减，单位不变，单位的个数相加减

整数 小数 分数

乘法 1.从个位开始，先用乘数每一位上的数分别去乘被除数

2.用乘数上哪一位的数去乘，乘的得数的积的末位就和哪一位对齐

3.再把几次乘的得数加起来 1.按照整数乘法法则先求出积

2.看因数中一共有几位小数，就从积的右边数几位点上小数点 1.分数乘以分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母

2.有整数的把整数看做分母是1的假分数

3.有带分数的，通常先把带分数化成假分数

除法 除法是整数的除法：从被除数的高位起，除数是几位数，就先看被除数的前几位，如果不够除，就要多看一位。除到哪一位就要把商写在那一位的上面。商的小数点和被除数的小数点对齐 除数是小数的除法：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数

三．四则运算各部分的关系

1.加减法各部分之间的关系：

2.加数+加数=和 一加数=和—另一个加数

3.被减数—减数=差 减数=被减数—差

被减数=差+减数

4.因数×因数=积 一个因数=积÷另一个因数

5.被除数÷除数=商 除数=被除数÷商

被除数=除数×商

6.运用加减法、乘除法互为逆运算的关系，可以对加、减、乘、除进行验算和求式子中的未知数。

四．有关1和0的运算

1. 一个数与0相加，还得这个数。

2. 一个数减去0，还得这个数。

3. 两个相同的数相减，差是0。

4. 0同任何数相乘，积都是0.

5. 任何数同1相乘，还得这个数。

6. 0除以不等于0的数，商是0.

7. 一个数除以1，商还是这个数。

8. 1除以不等于0的数，商都是除数的倒数。

9. 被除数和除数相等（都不是0），商是一

10. 0不能做除数

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五.运算定律和运算性质

1. 运算定律

名称 内容 字母表示 用数举例

加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变

a+b=b+a

25+14=14+25

加法结合律 三个数相加，先把前面两个数相加，再同第三个数相加，或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变

a+b+c=a+(b+c)

20+14+36=20+(14+36)

乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变

a×b=b×a

10×12=12×10

乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变

a×b×c=a×(b×c)

12×25×4=12×(25×4)

乘法分配律 两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变

（a+b）×c=a×c+a×b

“(12+15) ×4=12×4+15×4

2.运算性质

名称 内容 字母表示 用数举例

减法的性质 一个数连续减去几个数等于一个数减去这几个数的和 a-b-c=a-(b+c) 250-18-25=250-(18+52)

除法的性质 一个数连续除去几个数（0除外）等于一个数除以这几个数的积 a÷b÷c=a÷(b×c) 1800÷4÷25=1800÷(4×25)

六.和、差、积、商的变化规律

1. 如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加或减少相同的数。

2. 如果一个加数增加一个数，另一个加数减少相同的数，那么它们的和不变。

3. 如果被减数增加（或减少）一个数，另一个减数不变，那么差也增加（或减少）同一个数。

4. 如果被减数不变，减数增加（或减少）同一个数，那么差反而减少（或增加）同一个数。

5. 如果被减数和减数都增加（或减少）同一个数，那么它们的差不变。

6. 如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或缩小）相同的倍数。

7. 如果一个因数扩大若干倍，同时另一个因数缩小相同的倍数，那么它们的积不变。

8. 如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）相同的倍数。

9. 如果被除数不变，除数扩大（或缩小）若干倍，那么它们的商反而缩小（或扩大）相同的倍数。

10. 如果被除数和除数同时扩大（或缩小）若干倍，那么它们的商不变。

七.四则运算的顺序

1. 四则运算分为二级。加减法叫做第一级运算，乘除法叫做第二级运算。

2. 运算的顺序：在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算。在有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。

3. 计算时，要认真审题，选择合理的计算方法。

运算知识分类整理：

1．运算种类：加法、减法、乘法、除法。

2．运算形式：口算、笔算、估算、用计算器计算。

3．运算法则：在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算。在有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。

4．运算定律：加法交换律和结合律，乘法交换律、结合律和分配律。