2.十进制与二进制的互相转化

今天，当我们写上一个数目 1997 时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，即

1997=1×1000+9×100＋9×10+7×1

也就是说：1997 中含有一个 1000，九个 100，九个 10 与七个 1。

在表 1 中可以看到：二进制数 10 表示十进制数 2；二进制数 100，表示十进制数

66

 

4；二进制数 1000，表示十进制数 8；二进制数 10000 表示十进制数 16；…；可

以看出规律：二进制数 100000 应该表示十进制数 32，…。那么我们写下一个二进制

数 10110，则应表示它含有一个 16，一个 4 与一个 2，也就是

10110=1×16+0×8+1×4+1×2+0×1

明白了上面所说的两点，则二进制与十进制之间的转化的道理就容易懂了。为了

叙述的方便，我们约定：用（ ）2表示括号内写的数是二进制数，如（1011）2；用（ ）

10 表示括号中写的数是十进制数，如（37）10。

例 1 把（10110）2改写成十进制数。

解 （10110）2=1×16+0×8＋1×4+1×2+0×1

=16＋4+2

=（22）10

例 2 把（1110101）2改写成十进制数。

分析：因为位数太多，我们先从低位写起。

解 （1110101）2=1×1+0×2+1×4+0×8+1×16+1×32+1×64

=1+4+16+32＋64

＝（117）10

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从上面两道例题可以看到：将一个二进制数写成十进制数的第一步骤是：将二进

制数的各数位上数字改写成相应的十进制数。因为是“满二进一”，所以高位是相邻

低一位数的 2 倍。一个二进制数的各个数位（由低位到高位）对应十进制数的规律是：

1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，…

第二个步骤是将各数位上对应的十进制数求和，所得结果便是相应的十进制数。

再看一题。

例 3 将（110100111）2改写成十进制数。

分析：还是由低位写起。

解 （110100111）2=1×1+1×2+1×4＋0×8+0×16＋1×32＋0×64＋1×128＋1×256

=1+2＋4+32+128+256

＝（423）10

下面我们介绍如何将一个十进制数改写成相应的二进制数。

例 4 把（60）10改写成二进制数。

解 （60）10=32＋28

=32+16+12

=32＋16＋8＋4

68

 

=32+16+8＋4+0×2＋0×1

=（111100）2

说明：从解题过程中立即便能看出，将十进制数写成二进制数的过程，正好与将

二进制数改写成十进制数的过程相反：先由高位开始考虑，将十进制数尽可能地凑出

相应二进制数的最高位，然后逐步往下进行。

例 5 把（45）10改写成二进制数。

分析：（45）10不足 64，所以它对应的二进制数的最高位是 32，即 45=32＋13，

剩下的 13 不足 16，则向下一位考虑。45=32＋0×16＋（8＋5），剩下的 5 中包含一

个 4，即 45=32＋0×16＋8＋4＋1，最后一位数是 1，又不足 2，所以对应的二进位数

又空一位。

解 （45）10=32＋0×16＋8＋4＋0×2＋1

=（101101）2

练一练：

（1）将（31）10改写成二进制数；

（2）将（78）10改写成二进制数。

下面我们再介绍一种将十进制数写成二进制数的常用方法——除二倒取余法。例

如要将（71）10写成二进制数，参见下式。我们将 71 除以 2，余数 1 相应写在右边（如

果除尽，余数则写 0）；再将商 35 除以 2，余数 1 相应写在右边；再将这步的商 17

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除以 2，重复上述过程，直到商等于 1 为止。并且最后一步的商“1”也写到右边余数

那一列的最下面。最后将这列余数由下到上写成一行数，这行数便是（71）10的二进

制数表示法。即

（71）10=（1000111）2

例 6 用除二倒取余法将（38）10写成二进制数。

解 ∵

∴（38）10＝（100110）2

例 7 用两种方法将（107）10改写成二进制数。

解 方法一

（107）10=64+43

=64＋32+11

=64＋32＋0×16+8+3

=64＋32+0×16＋8＋0×4+2+1

70

 

＝（1101011）2

方法二 ∵

∴（107）10=（1101011）2

 

练习九

 

1.把下面的二进制数改写成十进制数。

①（10001）2； ②（11000）2；

③（101110）2； ④（111101）2；

⑤（1101001）2； ⑥（11011010）2。

2.把下面的十进制数改写成二进制数。

①（19）10； ②（26）10； ③（54）10；

④（81）10； ⑤（123）10； ⑥（180）10。

3.现有 1 克、2 克、4 克、8 克的砝码各一枚，在天平上能称出多少种不同重量的

物体？想一想这是为什么？与二进制有关吗？

71

 

 

十、二进制数的四则运算

同学们一定记得，刚上一年级学习加法运算时有加法口诀到了学习乘法的时候，

又有“九九乘法口诀表”。背诵“九九表”对每个小同学来说都是一件十分辛苦而费

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时的事，所以当时大家都希望“九九表”能够简单一些吧？由于我们使用的是十进制，

所以它的四则运算法则不可能太简单。现在我们学习了二进制数，而二进制数中只有

两个独立的符号“0”与“1”，所以二进制数的四则运算法则就简便多了！

加法法则：

0＋0=0；0＋1=1；

1＋0=1；1+1=10。

乘法法则：

0×0=0；0×1=0；

1×0=0；1×1=1。

上面列出的八条二进制运算法则可以归纳成八个字：“格式照旧，满二进一。”

利用这一规则，可以很容易地实现二进制数的四则运算。只是对于减法，当需要向上

一位借数时，必须把上一位的 1 看成下一位的（2）10。

下面是一些例子，右边列的是十进制下的对照：

加法运算：

72

 

（100）2+（110）2＝（1010）2

1＋1=10，本位记 0，并向高位进 1（即“满二进一”）

4＋6=10

减法运算：

（1100）2-（1001）2=（11）2

被减数不够减，向高位借 1 当 2，2-1 得 1。

12-9=3