长方体和正方体综合知识点自编版               
前言
         要素
立体图形 棱 面 顶点
数量 特征 数量 特征 数量 特征
长方体 12条 
4条横长棱
4条纵宽棱
4条竖高棱 互相平行的棱长度相等，3组 6个面
上下前后,左右各2
个面 相对的面完全相同。上下、前后、左右相对的2个面完全相同 8个
上面4个
下面4个
同一个顶点引出的3条棱分
别叫做：
长、宽、高。
三棱汇一点
半特殊
长方体 12条
4垂直棱+
构正方8棱 垂直于正方形面的4条棱长度相等 6个面
2面+4面 有一组相对的2个面是正方形，其余4个面是完全相同的长方形 8个
上面4个
下面4个
正方体 12条 长度相等 6个面 6个面全相等 8个
唠叨说教
上述表格中涉及到的一些数字，相信你基本能脱口而出，可每到解题的时候，头脑一片混乱。每次考完试后，我常会听到一些同学说：这次考试我又粗心了。粗心是借口，过了4年级，粗心实际就是数学思维混乱，不讲数学道理，水平低的表现。并且屡教不改。
这里牵涉到两个问题：一是记忆问题；形同其它学科，数学所需要背诵的基本概念、法则、定义、定理、公式，大多为了加快解题步骤，省却学生重复推倒的过程（很多小学、初中阶段学生自己都还无法去推倒）。由于数学学科的自身特点表现在——探讨对象的抽象性，数学语言在纸面表达的抽象性很强。因此为记忆而记忆，机械的记忆，不仅枯燥无味，且造成错误频出，说到底无任何意义。纵观对于数学7大体系需要进行记忆的内容，其中6大版块—计算体系、计数体系、组合体系、数论体系、行程体系、应用体系，每次在记忆的时候，脑海中最好同步显现相应的一道哪怕是最简单的题目即可；而对于第七体系的几何体系而言，公式、概念背诵的同时，不仅头脑中必须出现对应的图形，反复映射，特别重要的是，对于立体几何而言：作图，标上带单位的数字，更是不可或缺，意义重大。
第二个问题：数学还是一门知识的连贯性、系统性、逻辑性很强的学科。决不可将数学不同阶段、时期的知识点孤立看待。数学知识的连贯性，犹如链条，缺少某一环节，知识就会散架。 例如说三年级上学期对于长方形、正方形周长的学习；三下对它们面积的学习；四下从三角形→平行四边形→梯形；五上，将上述图形简单合成，进入到多边形面积的学习；看下图所示：
 
动笔前一副“空想社会主义”的萌样；动笔时一副凌空蹈虚的傻样，很傻很天真—其实你很2.
长方体、正方体            空间构造认识
★长方体中，汇聚于一点的三条棱，分别是横长棱，纵深棱，竖高棱。平面几何中，以长度来界定长
和宽。立体几何中，长宽高的界定，没有一本教材给出。我觉得，按照呈现在眼前的三维立体平面图中，线条的横向，纵向，竖向走向来定义为好。这对于长方体表面积的计算：长方体上、下两面的面积和=长×宽×2；长方体前、后两面的面积和=长×高×2；长方体左、右面两的面积和=宽×高×2；最后易记忆并合成为，S长=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。初中起到将来，直线坐标系，直角坐标系，空间坐标系与之相对应的实数虚数、函数、解析几何、微积分学习都有关联。
★三维立体平面图是为了方便研究，其实既可只见一面—正、侧、俯视三取其一；两面—正、侧、俯视三取其二；三面—正视图、侧视图、俯视图三合一。特别说明：1，如果物体的宽度明显小于人双眼距离的时候，有可能4个面。但是你忽略了前提条件是从一点去观察；2，从不同角度观察长方体，最多能同时看见几面，请不要累加，前提条件是同时能看见。时间在流逝：是孔圣的“不舍昼夜”，是庄生的“白驹过隙”，是曹孟德的“譬如朝露”，是陈子昂的“怆然泣下”。还有那句拨动无数少年心弦，触落无数老者清泪的“你聪明的，告诉我，我们的日子为什么一去不复返呢？” You the wise, tell me, why should our days leave us, never to return?——推荐聆听2014春晚歌曲《时间都去哪儿了》。 

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★长方体有“大众化”和“半特殊化”两种。实质为汇聚于顶点的长宽高三种棱，有且只可以两两之间数值大小一样时，“大众化长方体“成为“半特殊化”长方体。若长宽高大小都相等，就成为正方体。半特殊化长方体由于隐含着有一组相对的两个面是正方形（为什么不能相邻？），或者说隐含着长方体的6个面，必定分为2个对面为正方形，4个只可为长方形的条件，我们依然应当从这个条件形成的实质内涵是12条原本分组为4长、4宽、4高的棱，重新分组为4和8两组棱。充分利用◆【相对2正方，其余环形4个等长方形】，【4棱环形4长方、8棱相对两正方】◆ 是解决很多半特殊化长方体问题的关键。
          
上下2相对        前后2相对         左右2相对
其余前后左右      其余上下左右       其余上下前后
4环形等长方       4环形等长方       4环形等长方
相 对 2 正 方，其 余 环 形 4 个 等 长 方 形
★长方体和正方体的差别，不是面的差别，依然是棱！因为面的大小，就是棱的长度乘积结果造成；
有关你前世今生的故事是这样的：正方体是特殊的长方体，它拥有长方体所具有的特征：8个顶点，12条棱，6个面且相对的面一定平行，不平行那叫“喇叭开口笑”！探究实质，依然是12条棱其中的8条，长度首先变得完全一样后，形成且只能形成相对的两个正方形，这样前世大众化长方体的你，变形为半特殊化长方体（又名正四棱柱，妖也要有名）。当原本垂直于正方形的4条棱，长度增加（你前世矮胖子，现在矮胖挫的妖）或者减少（你前世瘦丑穷）到和8条棱完全一样时，汇于一点三棱的你本是人，且是矮胖挫或瘦丑穷，某一日，走火入魔，邪念丛生，祸害学生，变形是为妖人？人妖？（随便你啦）。最终幡然醒悟，潜心修炼，放下屠刀，又某一日，得道成仙！—本类型妖题，用你当年，破解不再是妖人或人妖的方法，依然是口念：相对2正方，其余环形4个等长方形，去解决。
【管中窥豹之你的前世今生变形记】
一个长方体木块,从上部和下部分别截去4厘米和2厘米长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？      
【解法1】根据题意可以知道：
①长方体是一个底面为正方形的长方体。【相对两正方】,                  4cm
②把截去的4cm和2cm拼凑在一起，这样就减少了一个高度为           
（4＋2）cm，面积是120cm2的侧面，这个侧面是由4个相等的长方形
（长就是长方体的长，宽就是6cm）组成的。【其余环形4个等长方形】
③正方体的棱长：120÷（4＋2）÷4=5（cm）【红色线均为5cm】
④原长方体的体积：5×5×（4+2+5）=275（立方厘米）
【解法2】①120平方厘米就是(4+2)厘米高的长方体的侧面积， 
②长方体底面周长：120÷6=20厘米，  【侧面积÷底面周长=高】         2cm                            
③因为成为正方体，底面是正方形，所以底面边长为20÷4=5厘米，
那么原来长方体的高为(4+2+5=11厘米)， 
所以原长方体体积：5×5×11=275立方厘米。
【解法3】列方程，设长方体的长是x厘米，那么宽也就是x厘米，        4cm
【依然是利用半特殊长方体的相对两正方这一特性】                   
高就是x+2+4厘米。                                
根据题意：原来长方体的表面积-正方体的表面积=120
              2x2+4x(x+2+4)-6x2=120
                2x2+4x2+24x-6x2=120
                           24x=120
                             x=5                                  2cm
那么长方体的长和宽都是5cm，高是5+2+4=11cm。
体积V=长×宽×高    V=5×5×11=275立方厘米
★最后一点强调：由一维空间的点、线，到二维空间的平面图形：长方形，正方形，再到立体几何图形的学习。图形的日趋复杂的变化演绎过程，可以说：点动成线，线动成面，面动则成体。
不管是曾经的平面图形周长，面积的题目，还是现在立体几何中的棱长和、表面积、体积、容积、容积中的排水法、挖一块或若干块、切一刀或几刀、若干块拼成一大块、棱的几倍变形引起表面积体积的变化，涂色问题，这些所有的所有，根本都要围绕变化的和不变化的，从棱变则全变这一点去探究！
最后的最后，请你画画图，讲讲道理，带入公式的数字含义对吗？另外数学一些题目是需要你联系生活实际的，例如：在现实生活中，不是所有长方体都要求六个面的面积，要根据实际情况，有的是求六个面的面积，有的是求五个面的面积，有的是求四个面的面积。做个画家和导演，讲讲道理，学校那点简单题目没有你不会做的！

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公式
棱长类：
长方体的棱长和=（长＋宽＋高）×4                  C=4（a＋b＋h）
长方体的棱长和=长×4＋宽×4＋高×4                  C=4a＋4b＋4h
长方体的高=棱长和÷4－长－宽
正方体的棱长和=棱长×12                           C=12a
正方体的棱长=棱长和÷12
棱长和的变形：包扎用绳总长度=2个长+2个宽+4个高+打结用绳长度
长方体、正方体的表面积和体积类：
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2         用字母表示S=2(ab＋ac＋bc)
长方体的表面积=长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2          用字母表示S=2ab＋2ac＋2bc
正方体的表面积=棱长×棱长×6                         用字母表示S=6a2
长方体的体积=长×宽×高                              用字母表示V=abc     
正方体的体积=棱长×棱长×棱长                        用字母表示V= a3
上述公式变形很无聊：  长方体的长=体积÷宽÷高   长方体（或正方体）的体积=底面积×高               长方体的高=体积÷底面积  长方体的体积=横截面积×长   长方体的长=体积÷横截面积 
★侧面积÷底面周长=高  【这是个好公式】
★解决有关长方体和正方体表面积的实际问题时，有时只求长方体、正方体的4个面（如：一根方柱的涂漆表面、一个盒子四周的商标纸、一个烟囱或通风管或排水管、一个火柴盒的外盒；）或5个面（无盖的盒子、箱子等；游泳池的四壁和底面、一个抽屉、一个火柴盒的内盒、一本影集的封套；家里地面不刷涂料，还需要扣除不需要刷涂涂料的门、窗的面积）
★在计算时，请注意首先进行单位换算统一后再进行。
一、长方体和正方体的认识
【知识点1】关于点、线、面
如图所示为一个长方体截去两个角后的立体图形，如果照这样的方法，截去原长方体的八个角，则新的立体图形的顶点有              个；棱有              条，面有             个，
【思路分析】一个长方体有4+4+4=12条棱，一个角上裁出3条棱，
即8个角共3×8=24条棱，相加即可．
原有棱的条数12+八个顶角裁出的24条棱=36条棱。
顶点的变化为：原有一个顶点因裁去而损失，但是增加的一个面，
或者说增加的3条棱于其它棱交点为3个，3-1=2个。
【思路点拨】每切去一个角，多出3条棱，多1个面，多2个顶点；依此类推，切
去长方体的八个角，多出24条棱，8个面，16个顶点加上原来的12
条棱,6个面,8个顶点一共36条棱，14个面,16个顶点。
【举一反三】
如果把一个长方体截去一个角后,新的立体图形有（    ）个顶点，有（    ）条棱、有（    ）个面
         
       图1                图2              图 3               图4
解答：图1、新的几何体有（ 10 ）个顶点， 有（ 15 ）条棱、有（ 7  ）个面 
图2、新的几何体有（ 9  ）个顶点， 有（ 14 ）条棱、有（ 7  ）个面
 图3、新的几何体有（ 8  ）个顶点， 有（ 13 ）条棱、有（ 7  ）个面 
图4、新的几何体有（ 7  ）个顶点， 有（ 12 ）条棱、有（ 7  ）个面
判断并改正：
1、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 (       )
2、长方体的六个面一定是长方形； (      ) 
3、正方体的六个面面积一定相等； (      ) 
4、一个长方体最多有四个面面积相等； (       ) 
5、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 (       ) 
6、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。(       )        
7、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（      ）
8、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（  　  ）
9、长方体和正方体最多可以看到3个面。（      ）
10、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（     　）
11、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等（　    ）
12、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（       ）
【知识点2】关于棱长
棱长和的变形：
①例如：一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？
                                     分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度；上面和下面的彩带长度=长的长度。
解答：需要彩带的长度=高×4+长×2+宽×2+打结部分长度20×4+30×2+10=150cm
②图2这款IPAD的外包装长a厘米，宽b厘米，高c厘米，商
店为了顾客方便，用丝带进行捆扎，结头处长d厘米，
这个包装盒至少要准备                    米彩带？         图2
                                                        
③图3有5种形状的硬纸各有若干张，选择其中的哪几种，每种选几张，正好可以围成一个长方体？
A．①号2张，③号4张   
B．②号2张，③号2张，①号2张   
C．①号2张，③号2张，④号2张
D．①号2张，⑤号4张 

展开余下试题

E. ①号2张，②号4张                 图3
F. ④号4张，⑤号两张
④仓库有四种规格的铁皮（单位：分米）：
规格①长6，宽4．   规格②长6，宽5      规格③长5，宽4．    规格④边长是4的正方形．
从中选择5张制成一个无盖的长方体容器的两种方案．（表格中填入几张）
规格① 规格② 规格③ 规格④ 容积/升
方案一
方案二
练习：
1．有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，
需要（         ）米的铝合金。
2．把两个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（　     ）厘米。
3．一个长方体长12厘米 宽8厘米 高7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（　     ）。
4．一个长方体的礼堂如右图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，
每串彩灯长2m，一共需要多少串彩灯？                 【右图礼堂】
              
5．一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，
右面周长为40cm，前面周长为50cm，鱼缸的长、宽、高各是多少？
6．正方体的六个面中，选出3个面，其中有两个面不相邻的排法有多少种方案？
   本题为和计数体系排列组合的结合
解答：①两个面不相邻那就是对面！正方体共3组对面，假定选组对面，还有一面从其他4面中任意选，就有4种情况！所以共有3×4=12种
②先任选一个面，再选第二个面与之不相邻只有一个，第三个面可从剩下的4个面中任选。因此选定一个面后再选2个面可达到要求的种数有4种。 正方体共有6个面，因此共有4×6＝24种选法。 但是不相邻便是相对的，因此选法有一次重复，所以要除以2. 所以最终共有选法为24/2＝12种。
③从正方体的六个面中任意选三个面共有20（6+5+4+3+2=20）种。其中过同一顶点的三个面相邻的只有8种，是不符合题意的，所以20-8=12种。
7.小明有9根a厘米长的小棒和6根b厘米长的小棒，他用其中的若干根小棒搭成了一个长方体框架．长方体框架的棱长和是多少？
A. 9a+6b       B. 8a+4b        C.6(a+b)      D.12a+12b       E. 6a+9b      F. 4a+8b
举一反三：
① 小明有59根a厘米长的小棒和56根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了一个长方体框架．长方体框架的棱长和是多少？
② 小明有49根a厘米长的小棒和46根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了一个正方体框架．正方体框架的棱长和是多少？
③ 小明有29根a厘米长的小棒和16根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了两个正方体框架．正方体框架的棱长和是多少？
★长方体或正方体的切割组合对棱长的影响
一，切割对正方体、正方体棱长的影响
① 切割将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长和4条宽；
（棱长增加的最长）
②将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条宽和4条高；
（棱长增加的最短）
③将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4条棱。
二、组合对长方体、正方体棱长的影响
① 将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条宽；
（棱长减少的最多）
②将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条高；
③将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条宽和4条高；
（棱长减少的最少）
④将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8条棱；
一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16条棱，四个组合减少24条棱，五个组合减少32条……（公式：8×（N—1））
例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140厘米

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