小学三年级奥数
第1讲 多位数的运算
 
多位数的运算，涉及利用 ＝10k-1，提出公因数，递推等方法求解问题．
 
    一、 ＝10k-1的运用
    在多位数运算中，我们往往运用 ＝10k-1来转化问题；
    如： ×59049
    我们把 转化为 ÷3，
    于是原式为 ×59049=（ ÷3）×59049= ×59049=（ -1）×19683=19683× -19683
    而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；
     +1
     如： ，于是为 ．
  
 
 
简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数．
原式= ×2×3×3× 
= ×2×3× 
= ×（ -1）
= × - 
= ,于是为 .
 
2．计算 － =A×A，求A．
   【分析与解】  此题的显著特征是式子都含有 ，从而找出突破口.
    － =  － 
                   = ×（ -1）
                   = ×（ ）
                   = ×（ ×3×3）=A2
     所以，A＝ .
 
    3．计算 × ×25的乘积数字和是多少?
   【分析与解】我们还是利用 = 来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成 ，于是我们就创造条件使用：
 × ×25=[ ×（ ）]×[ ×（ ）+1]×25
=[ ×（ ）]×[ ×（ ）+1]×25
= × ×[2× -2]×[2×（ ）+1]×25
= ×[4× -2× -2]
= × - × 
=100× -50× 
= (求差过程详见评注)
= 
所以原式的乘积为 
那么原式乘积的数字和为1×2004+5×2004=12024．
评注：对于 的计算，我们再详细的说一说．
 
= 
= 
= 
= 
 
4．计算 的积?
【分析与解】  我们先还是同上例来凑成 ；
 
＝ 
＝ 
＝ 
＝ 
＝ (求差过程详见评注)
    我们知道 能被9整除，商为：049382716．
    又知1997个4，9个数一组，共221组，还剩下8个4，则这样数字和为8×4=32,加上后面的3，则数字和为35，于是再加上2个5，数字和为45，可以被9整除．
     能被9整除，商为04938271595；
    我们知道 能被9整除，商为：061728395；
    这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5，而6个5和1个、6，数字和36，可以被9整除．
     能被9整除，商为0617284．
     于是，最终的商为：
      
评注：对于 - 计算，我们再详细的说一说．
     - 
＝ +1- 
＝ +1
＝ .
    二、提出公因式
有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等．

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5.计算：（1998+19981998+199819981998+… ）÷（1999+19991999+199919991999… ）×1999
【分析与解】 ＝1998× 
原式＝1998（1+10001+100010001+… ）÷［1999×（1+10001+100010001+… ）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998.
 
    6．试求1993×123×999999乘积的数字和为多少?
    【分析与解】  我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是1993×123还是有点繁琐．
设1993×123=M，则(1000×123＝)123000令M＝ 
则M×999999＝M×（1000000-1）＝1000000M-M
＝ - 
＝ +1－ 
＝ +1
＝ 
    那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f+1)=9×6=54．
    所以原式的计算结果的数字和为54．
评注：M× 的数字和为9×k．(其中M的位数为x，且x≤k)．
  
  7．试求9×99×9999×99999999×…× × × 乘积的数字和为多少?
    【分析与解】  通过上题的计算，由上题评注：
设9×99×9999×99999999×…× × × ＝M， 
于是M× 类似 的情况，于是，确定好M的位数即可；
注意到9×99×9999×99999999×…× × ＝M，
则M<10×100×100013×100000000×…× × ＝ 
    其中k=1+2+4+8+16+…+512=1024－l=1023；
    即M< ，即M最多为1023位数，所以满足 的使用条件，那么M与 乘积的数字和为1024×9=10240—1024=9216．
原式的乘积数字和为9216．
    三、递推法的运用
有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法．
 
    8．我们定义完全平方数A2=A×A，即一个数乘以自身得到的数为完全平方数；已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?
【分析与解】  我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：
121＝112；12321＝1112；1234321＝11112……
于是，我们归纳为1234…n…4321=（ ）2
     所以，1234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积为7777777的平方．
评注：以上归纳的公式1234…n…4321＝（ ）2，只有在n<10时成立．
 
9.① =A2，求A为多少?
     ②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？
    【分析与解】  方法一：问题①直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：
    ①注意到有 可以看成 ，其中n＝2004；
    寻找规律：当n=1时，有49=72；
    当n=2时，有4489=672；
当n=3时，有444889=6672；
  ……     ……
   于是，类推有 = 
   方法二：下面给出严格计算：
    = + +1；
   则 + +1＝ ×（4× +8）+1
＝ ×［4×（ +1）+8］+1
＝ ×［4×（ ）+12］+1
＝（ ）2×36+12× +1
＝（ ）2×62+2×（6× ）+1
＝（ ）2
     ②由①知 ＝ ，于是数字和为(4n+8n一8+9)=12n+1=2005；
于是，n=167，所以 = ，所以存在，并且为 .
   
10．计算 ×9× 的乘积是多少?
   【分析与解】采用递推的方法6×9×3=162；
                          66×9×33=19602；
                      666×9×333=1996002；
                        ……    ……
    于是，猜想 ×9× =  
                ×9× =  
评注：我们与题l对比，发现题1为 ×9×3× 使用递推的方法就有障碍, =10k—l这种方法适用面要广泛一点．
    练习1．设N= ×9× ，则N的各位数字之和为多少?
    练习2．乘积 × 的积是多少?各位数字之和又是多少?
练习3．试求 × 的各位数字之和是多少?



第2讲 计算综合（一）
 
    繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．
    1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：
 
    甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．
    2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．
    3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．
    4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．
    5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级
  [第1讲  循环小数与分数]．
 
1．计算： 
【分析与解】原式= 
 
2．计算：
【分析与解】  注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有 ．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在 后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．  
   而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5．
   具体过程如下：
原式= 
= 
= = = 
 
3．计算： 
【分析与解】原式= = = 
 
4．计算：已知= ，则x等于多少?
【分析与解】方法一： 
交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25．

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方法二：有 ，所以 ；所以 ，那么 1.25．
 
    5．求 这10个数的和．
   【分析与解】方法一：
     
   = 
   = = 
   = 
   = .
    方法二：先计算这10个数的个位数字和为 ；
    再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为 ；
    再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为 ；    
    再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为 ；
    再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为 ；
    再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为 ；
    再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为 ；
    再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为 ；
    再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为 ；
最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为 ．
所以，这10个数的和为4938271591．
 
   6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?
 
  【分析与解】  因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：
   
 
   7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算： 
【分析与解】原式
 
 
  8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果 ，那么方框内应填的数是多少?
【分析与解】 = .
 
    9．从和式 中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?
【分析与解】  因为 ，所以 , , , 的和为l，因此应去掉 与 .
 
    10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。最大的一个是多少?
 
【分析与解】  有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918……较大，于是最大的为 ．
 
    11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个
分数的分母谁也不是谁的约数”.
    【分析与解】  有 ， ，  
    评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢?
    注意到 ，当 时，有 ．
    当a、b、c两两互质时，显然满足题意．
    显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不妨设a为2，那么有 ，显然b、c为一对孪生质数．
     即可得出一般公式： ，c与c+2均为质数即可.
 
    12．计算： 
    【分析与解】
原式= 
= 
= 
= = .
 
13．已知 .问a的整数部分是多少？
  【分析与解】
 
 = 
= 
= .
因为 ＜ 
所以 ＜ .
同时 ＞ 
所以a＞ .
综上有 ＜a＜ ．所以a的整数部分为101．
 
14．问 与 相比，哪个更大，为什么?
【分析与解】方法一：令 ， ，
有 .
而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是B＞A，
有A×A＜4×B ＜ ，所以有A×A＜ ，那么A＜ ．
即 与 相比， 更大．
方法二：设 ，
则 
= ，
显然 、 、 、…、 、 都是小于1的，所以有A2＜ ，于是A＜ .
 
15．下面是两个1989位整数相乘： ．问：乘积的各位数字之和是多少?
【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为 能被9整除，所以将一个 乘以9，另一个除以9，使原算式变成：
 
= 
= 
= 
  得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为：
 
+ 
评注：111111111÷9=12345679；
    M× 的数字和为9×k．(其中M≤ )．可以利用上面性质较快的获得结果．






第3讲 计算综合（二）
 
    本讲主要是补充[计算综合(I)]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算．
  1．n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3；
  2．从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：
 
  3．平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)．
 
1． 已知a= 试比较a、b的大小.
【分析与解】
 
其中A=99,B=99+ 因为A98+ ，
 
 
 所以有a < b．
 
2.试求 的和？
【分析与解】  记 则题目所要求的等式可写为：
 而 
所以原式的和为1．
评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想．
 
2． 试求1+2+3+4+…4+100的值?
【分析与解】  方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050．
方法二：倒序相加，1+   2+  3+  4+  5+… 97+  98+  99+  100
                  100+ 99+ 98+ 97+ 96+…4+   3+   2+    1,
上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为
10l×100 ÷2=5050．
方法三：整数裂项(重点)，
    原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+…+100×2)÷2
= 
= 
= 
=5050.
 
3． 试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+…+99×100．    
【分析与解】方法一：整数裂项
原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+…+99×100×3)÷3
  =[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+…+99×100×(101-98)]÷3
   方程二：利用平方差公式12+22+32+42+…+n2= 
  原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+…+992+99
    =12+22+32+42+52+…+992+1+2+3+4+5+…+99
    = 
    =328350+4950
    =333300．
 
5．计算下列式子的值：
  0.1×0.3+0.2 0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.8 10.0
  【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算．即先计算1×3+2 4+3×5+4 6+…+97 99+98×100。再除以100．
方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法． 
   0.1×0.3+0.2 0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.8 10.0
=(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×100)÷100
=[(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+…+(97×98+97)+(98×99+98)]÷100

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=[(1×2+2×3+3×4+4×5+…+97×98+98×99)+(1+2+3+4+…+97+98)]÷100
=( ×98×99×100+ ×98×99)÷100
=3234+48.51
=3282.51
方法二：可以使用平方差公式进行计算．
  0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.8×10.0
=(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×l00)÷100
=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+…+992-1)÷100
=(11+22+32+42+52+…+992-99)÷100
=( ×99×100×199-99)÷100
=16.5×199-0.99
=16.5×200-16.5-0.99  
=3282.51
  评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的．下面简单介绍一下整数裂项．
  1×2+2×3+3×4+…+(n-1)×n
= ×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+(n-1)×n×3]
= ×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+…+(n-1)×n[n+1-(n-2)]}
= 
= 
 
6.计算下列式子的值： 
 
【分析与解】  虽然很容易看出 可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+22+32+…+n2= ×n×(n+1)×(2n+1)，于是我们又有 
减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?
 
=  
=  
= 
= 
= 
= 
= 
 
7．计算下列式子的值：
 
【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.
显然12+1=2;
 
所以原式=198012×2=396024．
习题
计算17×18+18×19+19×20+…+29×30的值．
提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.
答案：(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.


第4讲 比例和百分数
 
成本、利润、价格等基本经济术语，以及它们之间的关系．各种已知数据或所求结果中包含比例与百分数的应用题，有时恰当选取较小的量作为一个单位，司以实现整数化计算．
 
 1．迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56％，如果再生产5040台，总产量就超过计划产量的16％．那么，原计划生产插秧机多少台?
  【分析与解】 : 5040÷(1+16％-56％)=8400(台)．
 
2．圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠

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