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第4届华杯少年数学邀请赛决赛第二赛试题以及答案
(1)互为反序的两个自然数的积是92565,求这两个互为反序的自然数。
(2)某工厂的一个生产小组,生产一批零件,当每个工人在自己原岗位工作时,9小时可完成这项生产任务。如果交换工人A和B的工作岗位,其它工人生产效率不变时,可提前一小时完成这项生产任务;如果交换工人C和D的工作岗位,其它工人生产效率不变时,也可以提前一小时完成这项生产任务。问: 如果同时交换A与B,C与D的工作岗位,其它工人生产效率不变,可以提前几分割完成这项生产任务?
(3)某校学生中,没有一个学生读过学校图书馆的所有图书,又知道图书馆内任何两本书至少被一个同学都读过,问:能不能找到两个学生甲、乙和三本书A、B、C,甲读过A、B,没读过C,乙读过B、C,没读过A?说明判断过程。
(4)有6个棱长分别是3cm,4cm,5cm,的相同的长方体,把它们的某些面染上红色,使得有的长方体只有一个面是红色的,有的长方体恰有两个面是红色的,有的长方体恰有三个面是红色的,有的长方体恰有四个面是红色的,有的长方体恰有五个面是红色的,还有一个长方体六个面都是红色的,染色后把所有的长方体分割成棱长为1cm的小正方体,分割完毕后,恰有一面是红色的小正方体最多有几个?
(5)小华玩某种游戏,每局可随意玩若干次,每次得分是8,a(自然数),0这三个数中的一个,每局各次得分的总和叫做这一局的总积分,小华曾得到过这样的总积分:103,104,105,106,107,108,109,110,又知道他不可能得到“83分”这个总积分。问:a是多少?
(6)在正方体的8个顶点处分别标上1,2,3,4,5,6,7,8,然后再把每条棱两端所标的两个数之和写在这条棱的中点,问各棱中点所写的数是否可能恰有五种不同数值?各棱中点所写的数是否可能恰有四种不同数值?如果可能,对照图a在图b的表中填上正确的数字;如果不可能,说明理由。
团体决赛口试
(1)2×3×5×7×11×13×17
这个算式中有七个数连乘
请回答:最后得到的乘积中,所有数位上的数字和是多少?请讲一讲你是怎样算的?
(2)这是一个中国象棋盘(图中小方格都是相等的正方形,“界河”的宽等于小正方形边长),黑方有一个“象”,它只能在1,2,3,4,5,6,7位置中的一个,红方有两个“相”,它们只能在8,9,10,11,12, 13,14中的两个位置。
问:这三个棋子(一个“象”和两个“相”)各在什么位置时,以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大?
(3)
将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计)
问:剩余部分的管子最少是多少厘米?
(4)
甲、乙二人同时从A出发向B行进,甲速度始终不变,乙在走前面 路程时,速度为甲的二倍,而走后面 路程时,速度是甲的 ,问甲、乙二人谁先到达B?请你说明理由。
(5)这是一个长方形。 (AE的长度与ED的长度之比是9∶5) (BF的长度与FC的长度之比是7∶4)问:涂红色的两块图形的面积与涂蓝色的两块图形的面积相比较,哪个大?请说明理由。
(6)这是一个正方形,图中所标数字的单位是厘米。
问:涂红色的部分的面积是多少平方厘米?
(7)
这是两个分数相加的算式。问:等号左边的两个方格中各是怎样两个不同的自然数?
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(8)在三位数中,数字和是5的倍数的数共有多少个?
(9)图中有两个红色的正方形,两个蓝色的正方形,它们的面积已在图中标出(单位:厘米2)
问:红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大?请说明理由。
(10)八个盒子,各盒内装奶糖分别为9,17,24,28, 30,31,33,44块。甲先取走了一盒,其余各盒被乙、丙、丁三人所取走。已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的两倍。问:甲取走的一盒中有多少块奶糖?
(11) 这是一块正方形的地板砖示意图。其中AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2,红色小正方形的面积是4,绿色的四块面积总和是18。求 这个大正方形ABCD的面积,请说明理由。
(12) 这是一个围棋盘,还有一堆围棋子,将这堆棋子往棋盘上放,当按格点摆成某个正方阵时,尚多余12枚棋子,如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵,则差9枚棋子才能摆满。
问:这堆棋子原有多少枚?
(13)如图是一个古座钟的图面,问:红色部分面积与蓝色扇形的面积之间大小关系如何?
请说明理由。
决赛第二赛答案
1. 165和651
2. 108
3. 可以
4. 177
5. 13
6. 只有当c=8,x=1时,以上六条棱中点处的数才能恰有五个不同的数值,否则就多于五种不同数值。
口试
1. 12
2. 黑象在2或3的位置,两个红相分别在10,12
3. 2
4. 甲
5. 红色
6. 266又2/3
7. 1994,3974042
8. 180
9. 蓝色
10. 31
11. 50
12. 112
13. 一样大
14.
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