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第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷答案(六年级组)
一、 填空(每题10分,共80分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 254948903981 0.5 71
1727 486;8 74 48
注:第6题,每空5分.
二、简答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)
9、解:①由已知条件 , ,
由三角形内角和是180°,在三角形ADC中,
.
(给4分)
②又因为 ,所以
.
在三角形BAD中, ,即:
,解得 (给4分)
③又因为 , , ,
.
因此图中的三角形ABC与三角形CAD都是锐角三角形.(给2分)
答: ,三角形ABC与三角形CAD都是锐角三角形.
评分参考:见解答过程;仅给出正确的答案,无过程,只给4分.
10、解法一:设货车车速为x千米/小时,由题意,
,
解上面方程
得到 (千米/小时).
解法二:货车总长 (千米),(2分)
客车行进的距离 (千米) (2分)
货车行进的距离 (千米) (2分)
货车的速度: (千米/小时) (4分)
答:货车车速为每小时44千米.
评分参考:解法一,①能列出方程,给5分;②正确解出方程给5分;解法二,见解答.
11、解答:填数的方法是排除法,用(m,n)表示位于第m行和第n列的方格.
方格图(题目中涂6)第4列已有数字1、2、3、4、5,第6行已有数字6、7、9,所以,在方格(6,4)中只能填数字8;第3行和第5行中都有数字9,所以在方格(7,4)中只能填9;正中的“小九宫”格中已经有7,所以,7只能填在方格(3,4)中了;此时,在第4列中只余下方格(5,4),6只能填在(5,4)中,见图6a.这个9位数是327468951.
图6a
评分参考:①正确给出答案,给4分;②对图5第4列中4个空格的填法,能说明理由,给6分,每个空格正确给1.5分;③即使最后答案不正确,对于推理正确的空格填法,要适当给分.
12、解法一:为使全班同学的平均成绩达到90分,需要将2名得优的同学和1名没有得优的同学匹配为一组,即得优的同学至少应当是没有得优同学的两倍,才能确保全班同学的平均成绩不少于90分.
解法二:设全班有n位同学,其中得优的为x人,没得优的为 人,则全班同学的总分为 ,平均分为:
,
要使全班的平均成绩不少于90分,即
,即 , .
答:得优的同学占全班同学的比例至少是 .
评分参考:①能判断出得优的人数至少是未得优人数得2倍,给5分,给出正确答案,再给5分;②仅有正确(或猜出)答案,只给5分.
三、详答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)
13、分析:(1)图7中的等边三角形按照面积大小分类有3种类型,共14个,图7a中,六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点,而且,每个
小号等边三角形,有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点,既然六边形
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有6个顶点,图7中有6个小号等边三角形;
图7b中,六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边,而且,每个中号等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边,既然六边形有6条边,图中有6个中号等边三角形;图7c中,大号等边三角形有2个.
(2)图7中的非等边等腰三角形,按照面积大小分类有3种类型,共有24个,见图7d.
小号(黑色)等腰三角形有6个,因为这类三角形均以六边形的一条边为其长边.并且,六边形的每一条边只唯一对应一个小号等腰三角形,见图7d.正六边形共有6条边,所以有6个小号等腰三角形;
中号(圆点)等腰三角形有12个,因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦,并且,以非直径的弦为长边的三角形有2个,如图7e,这样的弦共有6条,所以有12个中号三角形;
大号(灰色)等腰三角形有6个,因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径,每条直径上有对应有2个大号三角形,如图7f.共有3条直径,所以有6个大号(灰色)等腰三角形;
答:图中共有38个等腰三角形.
评分参考:①能分类计算等腰三角形个数,例如:能依照等边三角形和非等边的等腰三角形分类计数,然后依大小再做分类计数,按照等边三角形计数,给6分,按照非等边的等腰三角形分类计数,则给9分;②仅仅给出正确答案,未讲理由,只给5分;③可以用其它分类方法计数.例如:假定正六边形面积是18,则可以依面积分别为1、3、4、9计算等腰三角形的个数,计数的关键是抓住特征做分类,不重复和不遗漏,培养严谨的思维.建议以这种原则判题给分,每类给3—4分.
14、解答:按照题意,如果依顺时针方向不间断地给这7个盒子编号,则1号盒子可以有的编号是1,8,15,22,…,7k+1,2号盒子可以有的编号是2,9,16,23,…,7k+2,…,7号盒子可以有的编号是7,14,21,…,7k+7.
按照规则,小明将第1枚棋子放在1号盒子,第2枚棋子放在3号盒子,第2枚棋子放在6号盒子,第4枚棋子放在10号盒子,即3号盒子,第5枚棋子放在15号盒子,即1号盒子,第6枚棋子放在21号盒子,即7号盒子;第7枚棋子放在28号盒子,即7号盒子,……按照放棋子的规则,自第8枚棋子开始一个新的周期,即第8枚棋子放在1号盒子,第9枚棋子放在3号盒子,……,第k枚棋子放在 号盒子中,即棋号数为 除7的余数,也就是每7枚棋子为一个周期.并且,这7枚棋子有2枚放在1号盒子,有2枚放在3号盒子,有2枚放在7号盒子,有1枚放在6号盒子,2、4和5号盒子没有棋子.
所以,200=7×28+4,经过28次循环后,第197枚白色棋子放在1号盒子,第198枚和第200枚白色棋子放在3号盒子,第199枚白色棋子放在6号盒子.所以,1号盒子中有57枚白色棋子;3号盒子中有58枚白色棋子;6号盒子有29枚白色棋子;7号盒子有56枚白色棋子,其余盒子中没有白色棋子.
小青依逆时针方向放置红色棋子,我们可以将1号盒子仍视为1号,7号则视为2号,6号视为3号,5号视为4号,4号视为5号,3号视为6号,2号视为7号。此时,300=7×42+6,1号盒子中有86枚红色棋子;6号盒子有86枚红色棋子;3号盒子有43枚红色棋子;2号盒子有85枚红色棋子;
每个盒子内白、红棋子的数量和棋子总的数量如下表:
盒子号数 1 2 3 4 5 6 7
白色棋子 57 0 58 0 0 29 56
红色棋子 86 85 43 0 0 86 0
总 数 143 85 101 0 0 115 56
【说明】 将放置白、红棋子的过程列为下表:
1号盒子 2号盒子 3号盒子 4号
盒子 5号
盒子 6号盒子 7号盒子
第8枚红色棋子
第7枚红色棋子
第6枚红色棋子
第5枚红色棋子 第4枚红色棋子
第3枚红色棋子 第2枚红色棋子
第1枚红色棋子
第1枚白色棋子 第2枚白色棋子 第3枚白色棋子
第4枚白色棋子
第5枚白色棋子 第6枚白色棋子
第7枚白色棋子
第8枚白色棋子
评分参考:①见解答过程;②这道题的关键是找出循环规律,需要找到依7循环将7枚棋子分配到4个盒子;酌情给分;③可以用类比的方法,讨论红色棋子放入盒子的数量,也可以直接计算.酌情给分;④只有正确答案,没有过程,只给5分.
特别说明:因为各题的解答未唯一,上述解答和评分仅供参考.
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