同学们请注意：
1． 本试题卷共有三大题20个小题，满分120分，考试时间80分钟.
2． 把解答做在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效; 竞赛结束后, 只须上交答题卷, 试题卷请自己保管.
一. 选择题 (本题有10个小题, 每小题4分, 共40分)
1. 已知代数式 的值恒为正，那么 的值应该为  
   (A) 负数          (B) 非负数        (C) 非正数         (D) 正数
2. 对于有理数 , 下面的3个说法中: ①  表示负有理数; ②  表示正有理数; ③  与 中, 必有一个是负有理数. 正确说法的个数有
  (A) 0个          (B) 1个            (C) 2个           (D) 3个
 
              (第3题)
3. 如图,  是 的边 上的两点, 且有
 , 则 的大小为
  (A)            (B)  
(C)           (D)  
4. 将如右图所示的圆心角为 的扇形纸片 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径  与 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是
 
    (A)             (B)              (C)             (D)
5. 要使关于 的方程 无解, 则常数 的值应取
  (A) 1             (B) – 1           (C) ±1            (D) 0
 
                     (第6题)
6. 右边条形图是从曙光中学800名学生中帮助失学儿童捐款金额的部分抽样调查数据, 扇形图是该校各年级人数比例分布图. 那么该校七年级同学捐款的总数大约为
  (A) 870元         (B) 4200元        
  (C) 5010元        (D) 250560元
7. 足球比赛的记分规则是: 胜一场记3分, 平一场记1分, 负一场记0分. 一支中学生足球队参加了15场比赛, 负了4场, 共得29分, 则这支球队胜了
 
   (第8题)
  (A) 5场           (B) 7场          (C) 9场           (D) 11场
8. 如图, 将圆桶中的水倒入一个直径为40cm, 高为55cm的圆口容器中, 圆桶放置的角度与水平线的夹角为 . 要使容器中的水面与圆桶相接触,则容器中水的深度至少应为
  (A) 30cm          (B) 35cm          (C) 40cm          (D) 45cm

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9. 在下列6个图形中, 每个小四边形都是全等的正方形, 那么沿其正方形相邻边折叠, 能够围成正方体的编号是

                    ①                                     ②                               ③
       ④                                      ⑤                               ⑥
  (A) ① ②　③ ⑥   (B) ① ② ⑥    (C) ① ③ ④    (D) ① ③ ⑥
 
                (第10题)
10. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型, 在某高峰时刻, 单位时间进出路口 的机动车辆数如图所示. 图中 分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数(假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等), 则有
  (A)           (B)   
 (C)           (D)  
二. 填空题 (本题有5个小题, 每小题6分, 共30分)
 
11. 如下图，将一张正方形纸片经过两次对折，最后剪出一个菱形小洞后展开铺平，请你在空格的正方形纸片上画出所应该得到的图形                              
 
                                                            (第11题)
 
12. 在小时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按如图
所示的规则练习数数，数到2007时对应的指头是___________.
(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、
无名指、小指).
13. 已知 为一射线, 分别平分
 和 , 则 的大小为 ____________ .
14．三个同学对问题“若二元一次方程组 的解是 ,  求方程组 的解. ” 提出各自的想法. 甲说:“这个题目好象条件不够, 不能求解”; 乙说: “它们的系数有一定的规律, 可以试试”; 丙说: “能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5, 通过换元替代的方法来解决”. 参考他们的讨论, 你认为这个题目的解应该是 ________ .
 
(第15题)
15. 有一位客人从一楼进入电梯，再上升到第
九楼后走出来。右图是描述电梯上升时, 楼层与时间的关系图，时间单位为“秒”，每一层楼高3m. 现给出下列判断：① 电梯由一楼开始上升直达九楼，若中途不停，只要花40秒; ② 电梯在上升途中共停了2次，并且2次停留时间总计15秒; ③ 若电梯以等速上升，则上升的速度为0.6公尺/秒; ④ 这位客人搭电梯，从一楼开始上升到达九楼为止，前后共花55秒. 其中正确的判断是 __________ . (把你认为正确判断的序号都填上)
三. 解答题 (本题有5个小题, 每小题10分, 共50分)
16. (本题10分)
找出能使二次三项式 可以因式分解(在整数范围内)的整数值 , 并且将其进行因式分解.
17. (本题10分)
 
                     (第17题图1)
有5个边长为1的正方形, 我们可以分割后拼接成一个新的如图1的大正方形. 现又有10个边长为1的正方形如图2排列, 请你在图中画出分割线, 并在图2的右边画出拼接成的新的大正方形.

 
             (第17题图2)

 
          (第18题)
18. (本题10分)
如图, 同学们在操场的一个圆形区域内玩投掷沙包的游戏, 
圆形区域由5个过同一点且半径不同的圆组成. 经过多次实验, 发现沙包如果都能落在区域内时, 落在2, 4两个阴影内的概率
分别是0.36和0.21, 设最大的圆的直径是5米, 求1,3,5三个
区域的面积和.
 
             (第19题)
19. (本题10分)
如图,  和 都是等边三角形,  分别与 交于点 .
(1) 证明:  ≌ .
(2) 在两组线段: ①  与 ;
②  与 中, 有相等的线段吗?
(只须写出结论, 不须证明)
20. (本题10分)
有50名同学站在操场上玩游戏, 他们彼此间的距离都各不相等. 每人手中有一把水枪, 游戏规则是: 每人都向离自己最近的人打一枪. 试证明: 每一个人至多挨了5枪. (提示: 也就是要证明: 假定有一个人至少挨6枪是不可能的)
2007年杭州市“思维数学”夏令营
数学竞赛参考答案及评分标准
一. 选择题 (本题有10个小题, 每小题4分, 共40分)
题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B A C C B D C
二. 填空题 (本题有5个小题, 每小题6分, 共30分)
 
11. 右边两种画法都算正确: 
     
12. 小指       13.  或 .      14.         15. ① ② ③ ④

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三. 解答题 (本题有5个小题, 共50分)
16. (本题10分)
 .                                                --- 各1分共4分
 ;  ;
 ;  .                 --- 6分
17. (本题10分)
分割与拼接如下:
 

   --- 共10分
18. (本题10分)
大圆的面积是6.25 平方米,                                              --- 3分
1,3,5三个区域的面积和占总面积的1-(0.36+0.21)=0.43,                    --- 4分
所以1,3,5三个区域的面积和为2.6875 (或8,44)平方米.                   --- 3分
 
             (第19题)
19. (本题10分)
(1) 在 和 中, 
∵ , (等边三角形)
又 ,
∴  ≌ ; ( )         --- 8分
(2) 相等的线段只有 .       --- 2分
20. (本题10分)
 
假定有一个人至少挨了6枪, 设此人为A. 若B射向A, C也射向A, 则在△ABC中, BC边最长 (如图).                                 --- 3分
    又由于三边不等, 则角A应该大于60度.     --- 3分
    若有6个人都射向A, 则从A出发的6个角都大于60
度, 从而周角就大于了360度, 这是不可能的.    --- 4分 

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