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奥数
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包含与排除(二)
在日常生活中,我们需要把具有相同性质的对象放在一起考虑,并且给它一个总称。如钢笔、铅笔、本、橡皮……总称为文具;西红柿、黄瓜、土豆、白菜……总称为蔬菜;苹果、香蕉、梨……总称为水果等等。
在数学里,我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑,这些相同性质的对象便组成了一个“集合”,每个集合总是由一些成员组成的,集合中的这些成员叫做这个集合的元素。
名词解释:
(1)由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A、B的并集(又叫A与B的和)。记作 ,记号“ ”读作“并”, 读作“A并B”。
(2)A、B两个集合公共的元素,也就是那些既属于A,又属于B的元素,它们所组成的集合叫做A和B的交集,记作“ ”,记号“ ”读作“交”, 读作“A交B”。
下面我们就利用“集合”的知识来解决有关“包含与排除”问题。
(一)典型例题
例1. 六一班同学参加数学小组和作文小组,其中参加数学小组的有16人,参加作文小组的有20人,两组都参加的有5人,六一班参加数学小组或作文小组的一共有多少人?
分析与解:参加数学小组的可以看成集合|A|,参加作文小组的可以看成是集合|B|,两组都参加的可以看成 ,问题是求参加数学小组或作文小组的一共有多少人,也就是把集合|A|和集合|B|合并在一起,即
(人)
根据上面列式,我们可以得出:
答:参加数学小组或作文小组的一共有31人。
例2. 求1~20的自然数中2的倍数或3的倍数的个数。
分析与解:
(1)1~20的自然数中2的倍数用集合A表示
A={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
|A|=10
(2)1~20的自然数中3的倍数用集合B表示
B={3,6,9,12,15,18}
|B|=6
(3)既是2的倍数又是3的倍数,也就是
(4)
答:1~20的自然数中2的倍数或3的倍数一共有13个。
例3. 四年级有学生75人,在一次校田径运动会中,参加田赛的有35人,参加径赛的有29人,既参加田赛又参加径赛的有6人,问两项都未参加的有多少人?
分析与解:如图,要求两项都未参加的,要先求出至少参加一项的有多少人,从全年级中除去至少参加一项的就是所求。
|A|表示田赛人数,|B|表示径赛人数
=58(人)
75-58=17(人)
答:两项都未参加的有17人。
例4. 40人参加测验,答对第一题的有30人,答对第二题的有21人,两题都没答对的有4人,则两题都答对的有多少人?
分析与解:如下图,要求出两题都答对的人数,要先求出至少答对一题的有多少人。
浏览完整试题
答对第一题的人数用|A|表示
答对第二题的人数用|B|表示
(人)
=15(人)
答:两题都答对的有15人。
例5. 某班同学中,有26人爱打篮球,17人爱打排球,19人爱踢足球,有9人既爱打蓝球又爱踢足球,有4人既爱打排球又爱踢足球,有7人既爱打篮球又爱打排球,没有一个人三种球都爱玩,也没有一个人三种球都不爱玩,问:这个班共有多少学生?
分析与解:根据题意,可画集合图如下:
用|A|表示爱打篮球的人数
|A|=26
|B|表示爱打排球的人数
|B|=17
|C|表示爱踢足球的人数
|C|=19
=26+17+19-7-9-4
=42(人)
答:这个班共有42人。
[答题时间:30分钟]
二. 尝试体验
1. 48名学生参加了数学和语文考试,其中语文得100分的有12人,数学得100分的有17人,两门都没得100分的有26人。问两门都得100分的有多少人?
2. 有一批游客,有75人懂英语,83人懂俄语,10人既不懂英语又不懂俄语,68人两种语言都会,问这批游客共有多少人?
3. 一个车间有70个工人,其中每个工人或者会打网球,或者会跳舞,或者两样都会,现在知道会打网球的有48人,会打网球又会跳舞的有24人。问会跳舞的有多少人?
4. 求1~100的自然数中
(1)是5的倍数或是8的倍数的自然数个数
(2)既不是5的倍数又不是8的倍数的自然数的个数
5. 一次数学小测验中只有两道题,结果全班有10人全对,第一题有25人做对,第二题有18人做错。那么两题都做错的有多少人?
请做完之后再看答案!
【试题答案】
二. 尝试体验
1. 48名学生参加了数学和语文考试,其中语文得100分的有12人,数学得100分的有17人,两门都没得100分的有26人。问两门都得100分的有多少人?
48-26=22(人)
12+17-22=7(人)
答:两门都得100分的有7人。
2. 有一批游客,有75人懂英语,83人懂俄语,10人既不懂英语又不懂俄语,68人两种语言都会,问这批游客共有多少人?
75+83-68+10=100(人)
答:这批游客共有100人。
3. 一个车间有70个工人,其中每个工人或者会打网球,或者会跳舞,或者两样都会,现在知道会打网球的有48人,会打网球又会跳舞的有24人。问会跳舞的有多少人?
70-48+24=46(人)
答:会跳舞的有46人。
4. 求1~100的自然数中
(1)是5的倍数或是8的倍数的自然数个数
100÷5=20
100÷8=12……4
100÷40=2……20
20+12-2=30
(2)既不是5的倍数又不是8的倍数的自然数的个数
100-30=70
5. 一次数学小测验中只有两道题,结果全班有10人全对,第一题有25人做对,第二题有18人做错。那么两题都做错的有多少人?
25-10=15(人)只做对第1题的人数
18-15=3(人)两题都做错的人数
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