－12
　　当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。
　　因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数从12—89，都可类推。
　　被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如
　　210－120＝(2－1)×90＝90，
　　0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。
(2)31×51
　　个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。
　　
　　若十位数字的和满10，进1。如
　　
　　证明：(10a＋1)(10b＋1)
　　＝100ab＋10a＋10b＋1
　　＝100ab＋10(a＋b)＋1
　　(3)26×86 42×62
　　
　　个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。
证明：(10a＋c)(10b＋c)
　　＝100ab＋10c(a＋b)＋cc
　　＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。
(4)17×19
　　十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。
　　原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323
证明：(10＋a)(10＋b)
　　＝100＋10a＋10b＋ab
　　＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。
(5)63×69
　　十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。
　　原式＝(63＋9)×6×10＋3×9
　　＝72×60＋27＝4347。
证明：(10a＋c)(10a＋d)
　　＝100aa＋10ac＋10ad＋cd
　　＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。
(6)83×87
　　十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如

证明：(10a＋c)(10a＋d)
　　=100aa＋10a(c＋d)＋cd
　　＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。

(7)38×22
　　十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
　　原式＝(30＋8)×(30－8)
　　＝302－82＝836。
　　(8)88×37
　　被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。
　　
(9)36×15
　　乘数是15的两位数相乘。
　　被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。

　　＝54×10＝540。
　　55×15
　　
(10)125×101
　　三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125＋1＝126。
　　原式＝12625。
　　再如348×101，因为348＋3＝351，
　　原式＝35148。
(11)84×49
　　一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。
　　原式＝8400÷2－84
　　＝4200－84＝4116。
(12)85×99
　　两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
　　原式＝8500－85＝8415
　　　　　
　　不难看出这类题的积：
　　最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；
　　最低位上的两位数，是100与被乘数的差；

浏览完整试题

　　中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。
证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则
　　　
　　如果被乘数的个位数是1，例如
　　31×999
　　在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。
　　71×9999＝709999－70＝709929。
　　这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n－1)的形式，其积为
　　(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。
(13)1÷19
　　这是一道颇为繁复的计算题。
　　原式＝0.052631578947368421。
　　根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。
　　原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：
　　(1)先用0.1÷2＝0.05。
　　(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除

　　如此除到循环为止。

　
　
　
　
　
　　仔细分析这个算式：
　　加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。
　　除数末位是9，都可用此法计算。
　　例如1÷29，用0.1÷3计算。
　　1÷399，用0.1÷40计算。
2.估算
　　数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。
　　美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定……”
(1)最高位估算
　　只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。
　　例1 1137＋5044－3169
　　最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。
　　
　　如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露。
　　例3 51.9×1.51
　　整体思考。
　　因为 51.9≈50，
　　而50×1.51≈50×1.5＝75，
　　又51.9＞50，1.51＞1.5，
　　所以51.9×1.51＞75。
　　另外9×1＝9，
　　所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。
　　例4 3279÷79
　　把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，若相差较大，则是错的。
(2)最低位估算
　　例如，6403＋232＋1578
　　3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。
(3)规律估算
　　和大于每一个加数；
　　两个真分数(或纯小数)的和小于2；
　　一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数)，且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和；
　　
　　两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2；
　　
　　奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；
　　差总是小于被减数；
　　整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差；带分数(或带小数)，与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。
　　
　　带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的差；
　　
　　带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1；
　　
　　如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；
　　若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数；
　　带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积； 例如，
　　
　　
　　A＜AB＜B。
　　奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；
　　若除数＜1，则商＞被除数；
　　若除数＞1，则商＜被除数；
　　若被除数＞除数，则商＞1；
　　若被除数＜除数，则商＜1。
(4)位数估算
　　整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68，差为两位小数。
　　最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；
　　例如，451×7103
　　最高位的积4×7＝28，满10，结果是3＋4＝7(位数)。在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；
　　例如，147342÷27
　　14不够27除，商是4－2＝2(位数)。
　　被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。
　　例如，30226÷238
　　302够238除，商是5－3＋1＝3(位数)。
(5)取整估算
　　把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的数估算。
　　如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。
　　12×8.5≈10×10，积接近100。
3.并项式
　　应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。
　　例1 3.34＋12.96＋6.66
　　　　＝12.96＋(3.34＋6.66)
　　
　　＝12.96＋10＝22.96
　　＝3－3＝0
　　例3 15.74－(8.52＋3.74)
　　＝15.74－3.74－8.52
　　＝12－8.52＝3.48
　　例4 1600÷(400÷7)
　　＝1600÷400×7
　　＝4×7
　　＝28

上一篇：【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题（六）

下一篇：【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算（二）4.提取式