浙江省建德市新安江第一小学 余志军  中学高级教师 

【内容提要】研究素材是承载数学教学内容、实现教师教学意图，指引学生获取数学知识，理解数学本质，提高数学素养的基本载体。实践证明：合理有效的探究素材能增强学生的探究兴趣，引发学生积极地进行数学思考，从而提升学生的思维能力；而不适当的素材有可能导致课堂教学的功败垂成。本文从两次“烙饼问题”教学的经历为例，试图以“典型课例研究”为载体，管窥“精选素材，合理使用”的一般规律，并探索激活学生思维的有效策略。 

     【关键词】小学数学   研究素材

本文所说的研究素材是指承载数学教学内容、实现教师教学意图，指引学生获取数学知识、理解数学本质，提高数学素养的基本载体。2011版《数学课程标准》特别强调：数学素材应尽量贴近现实生活，尽量联系学生的已有知识和经验。这样，我们的数学教学就能够运用贴近生活的素材，借助学生的已有经验，引导学生探究内在的规律，提高学生的数学素养，发展学生的数学思维。这里说的数学思维主要是以抽象、推理和建模为主要特征的思维活动。基于这样理念，多数数学课堂我们至少需要组织学生经历如下三个过程：首先是在理解素材中发现问题、提出问题；其次是借助适当的方法进行思考和探索，得出一定的猜想或规律；接着回到具体情境进行验证，并概括和抽象出数学模型。所以，问题来源于素材，探究依赖于素材，建模更要素材来支撑。

研究素材选择得是否合适，呈现方式是否多样，活动组织得是否合理，甚至关系到一节数学课的成败。

案例重现

不久之前，本人承担了一节市级公开课，内容是人教版实验教科书四年级上册数学第七单元的“烙饼问题”。本类问题的综合性比较强，具有一定的思考余地和探索空间，特别适合引导学生经历解决问题的过程和对问题的探索理解，积累数学活动经验、感悟数学基本思想。经过思考，本人基本设想是分四个板块引导学生把握其中的一般规律和基本数学思想。

整个过程大致是这样的：

第一个板块，简单讨论“烙一个饼”和“烙两个饼”的方法，作为铺垫。

第二个板块，重点操作并交流讨论“烙3个饼”的方法，并在此基础上推想“烙4个、5个、6个、7个、8个、9个……”的方法，探究其中的规律。

第三个板块，解决生活中类似“烙饼”的问题，建立模型。

第四个板块，拓展思维，想象“锅子可同时烙3只饼”。

当课进行到第二板块，进行重点突破的时候，遭遇了小小的尴尬：

经过讨论、演示、交流、体会，正要取得“3只饼，交替烙法最合理”共识的时候，有一只手高高地举了起来，似乎有重要的发现要说。

生：老师，把那只饼拿出来过3分钟再放回去烙，还好吃吗？生活中是不会有人这么烙的！

下面听课老师发出了轻轻的笑声，其他学生的思维受到吸引也议论纷纷起来……

经过一番周折，好不容易形成了比较一致的意见：相同点是每次都是两只饼同时在烙，锅子始终不空着；不同的是2个饼是同时烙正反面，而3个需要交替烙。

……

课总算“有惊无险”地按计划完成了预定任务。

为什么会遭遇这样的尴尬？当静下心来仔细回味，事出偶然而其中又有一定的必然。

第一，素材考虑了生活化，但并不符合儿童的认识经验。“烙饼”这个现象，孩子经常在

街头小吃店看到，素材来自现实生活，但在我们看来符合现实生活的素材，由于儿童受自身经历和独特视角的影响，学生看起来并不一定是“现实”的。

第二，体验性操作和实践从数学角度看有相同本质，但毕竟不是直接经验。“烙饼”要节约时间，关键是“锅子不能空着，始终要以最大量烙”，关于这一点，课堂通过组织模拟活动，学生尽管经历了，由于与他们的直接经验还有一定距离，感悟还是不够深。

第三，经历探究、推理的过程对获取知识很重要，但探究材料是否典型直接决定了效果。在操作、探究、观察基础上进行的推理中，学生还不能综合运用知识进行归因，不能有效对数据进行处理和分析，实质上是对本质缺乏必要领悟和把握，即实际上需要把“饼数”分为几个2或几个3或几个2加一个3，研究数据不够典型应该是原因之一。

第四，知识之间还需要纵横建立几个对应关系：比如烙一个时间和烙一面时间的关系；烙的次数与饼的面数的关系；饼数与烙饼次数之间的关系等。建立这些关系，对学生的综合能力是个考验，也需要素材的宽度、长度来保障。

由此可见，即使教学的总体思路对了，如果素材不理想，活动不到位，都会造成课的“节外生枝”，不小心还会“功败垂成”！所以，本课还有待进一步地斟酌。

深入思考

“小学生的数学学习，应从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释和应用的过程。”在这样的理念指导下，老师把数学研究素材生活化，生活世界数学化的现象十分普遍。但是，操作上一不小心，易把生活和数学等同起来，误以为只有生活中的数学才是有价值的数学，把数学和生活本末倒置，生活味在一定程度上淹没了数学味。就像上例“烙饼”问题：“烙饼”既然是来自现实生活的一个素材，学生从自己的视角出发，从日常观察生活的联想出发，想到“把那只饼拿出来过3分钟再放回去烙，还好吃吗？生活中是不会有人这么做的！”就一点都不奇怪了。教学关注的是从数学角度看怎么更节约时间，而儿童思维的感性成分比较多，他们常常被“生活”、被“人文”的东西所干扰。生活原生态素材到底能收到多大的教学效益？这是个必须考虑的问题。那么怎样精选、使用研究素材才能促进学生有效地学习数学呢？

于是我们不由得产生这样的疑问：“烙饼”这个情境真的符合学生经验吗？有没有既有“烙饼”的数学结构、不会引发歧义、又很贴近学生生活实际的其他素材呢？选取哪几个“饼数”开展研究、整理、观察、推理，既节约时间，又便于学生把握本质、启发学生思维？

1.素材选择需要满足的几个基本要求。

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(1)符合班级学生的认知基础和生活背景。

学生为什么会认为数学枯燥乏味、麻烦难懂？最主要的原因是因为教学脱离儿童实际。小学生以形象思维为主，有不少数学教学内容相对有些抽象。教学中为了解决好这对矛盾，教师要将数学知识化解在生动活泼的情境中，让数学贴近儿童生活，顺应儿童经验。用具体生动、形象可感的素材来承载数学知识，让学生感到数学原来是很现实的，是很常见的，是不难学的，激发学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。准备素材时，不仅仅要有心理学意义上的儿童观念，更关键的是要有班级儿童观念，农村儿童是怎么样的，城镇儿童又是怎么样的，心里要有数。如果是来自班级儿童的，也许就是效果最好的。

(2)帮助学生把握本质和建立模型。

数学是研究数量关系和空间形式的科学，数量关系和空间形式都是现实生活的反映。所以说，数学来源于生活，又高于生活。当我们把数学知识生活化、情境化后，既有利，也有弊。有利的是学生可以通过“生活原型”，沟通生活数学与课堂数学的联系，把数学知识获取的过程与已有的生活经验融合，实现知识的迁移或提炼，这样就是对生活的提炼，对生活的超越，实现数学模型的建立。学习难度降低了，理解加深了。不利的是，生活化素材并不是一下子就能找到“数学原型”的，生活化素材，信息往往更复杂，有可能还是不连贯的片段，干扰性因素也比较多。这就需要教师在选择素材时要有敏锐的观察力，要注意排除一些不必要因素的干扰，有利于学生抓住本质，便于让学生从中去提炼数学知识，构建数学模型。

(3)素材要有地方特色和时代气息。

时代在发展，信息技术日新月异，儿童能获得的信息或许比老师都新。陈旧的、枯燥的、虚假的信息，必定激不起学生的学习欲望。只有紧跟时代步伐，把富有时代气息的知识及时纳入课堂教学；只有紧盯社会发展，把富有地方特色的内容及时引入数学课堂，才能培养运用意识和实践能力，才能让学生体会到时代进步、社会发展，才能体会到数学的生动活泼，体会到数学的多方运用，才能体会到数学的价值，树立起数学的信心。

经过思考和筛选，我们选中了“电玩中的数学”,它本质上与“烙饼问题”相通，又能借助儿童直接经验，还有现代元素。

2.合理使用素材促学生经验升级。

素材是知识的载体，研究的主体是学生。使用素材要合理有度，这样才能激发学生的学习兴趣，又能唤醒学生已有经验，使学生头脑里原生态概念升级为比较完整的数学概念。

(1)横向有宽度

“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”是组成数学的四大领域，我们可以把它们看成是互相联系的横向结构，每册教材都是这样横向排列。那么，不同领域的知识，所需的素材不都是一样的。同一领域的不同内容，运用过的素材也各有侧重。

教学经验告诉我们，贴近生活、与学生经验对接的素材，绝大多数确实鲜活了课堂、激活了学生的思维。但是，也有不少适得其反的例子：就像前面的“烙饼”；还有不少计算课，当情境调动了学生已有经验后，学生的思维囿于定势，就再也没有求异性了。所以，我们并不能不分知识类别、性质都用上差不多的素材，而应联系教学实际，创设多样性的题材。有时，与生活实际不相联系、与学生经验基本无关的素材，对数学课堂却同样很有价值。比如，“因数和倍数”的教学中，就是这样大量使用纯数学素材和完全新的题材。

这就体现了素材的丰富性和涵盖面的宽广。

(2)点上有深度

如果把全册教材看成一个横向结构，则每一节课就成为组成这个系统的一个节点。点的教学 ，素材的前期处理需要生活化，后期就需要数学化。只有这样才能在落实基础知识和基本技能的同时，自然而然结合生活实践，在引导学生探究运用所学知识解决问题的过程中，获得初步的活动经验，感悟粗浅的数学思想方法。横向素材的安排主要考虑形式多样、与领域匹配；作为一节课的素材，更关注的是怎样为一个知识要点、思维训练点服务，怎么突出本质，怎么激活思维是考虑的重中之重。为了突出本质，素材必须具有典型性、针对性。“烙饼问题”，应该从3个开始研究，弄清关键；用6个，7个，8个，9个，11个这几个典型数据的研究突破难点、突出重点。这样的设计，不仅符合知识本身的逻辑发展，而且贴近学生最近发展区，能真正激活学生的思维，培养他们的发现问题、探索研究、数学推理、解决问题的创新能力。同时，作为一节课，从引入，到探究，到建模，到运用，每个环节的素材尽管可以不同，本质上都该围绕“统筹安排”这个核心而设计，就是说素材有必要的长度，能前后贯通整个点。

素材的典型性、针对性以及贯通长度，可以称为深度。它和素材的宽度相辅相成，使我们数学课堂拥有“牛奶咖啡”那样的可口味道。

3.动态把握促数学课堂简约高效。

(1)动态生成数学研究素材。

研究材料为知识和技能的学习提供了合适的载体，为学生的数学思考创造了必要的条件。但是，如果素材的选择单一而且没有创新，那么，效果一定不会理想。

活用教材资源。教材上的素材绝大部分是经过专家学者精心筛选过的，具有科学性、适切性、普遍性，是学生学习数学的重要线索。一般都可直接拿来利用，这样既节约准备时间，又不至于出现科学性错误。但是，由于不同的学生所处的环境不尽相同，所具备的知识背景与数学活动经验也各异，不同教师的教学风格也不同。所以，教材素材的动态处理很重要。教师应当根据本班实际、自身条件，对教材提供的素材修改、补充、替换等。

捕捉生活资源。为了拓宽教学素材的面，教师要有敏锐的观察力，把平时观察、感受到的生活数学问题，转化为具有地方特色、符合儿童视角的研究素材。在遵循教材知识体系的的同时，使教学与生活结合得紧密，使课堂教学更活泼、更开放。

多用课堂生成的素材。课堂教学过程是一个动态变化、发展的过程，课堂的精彩往往来自学生即时迸发的奇思妙想。作为教师如果善于捕捉这一瞬间，把握动态生成的问题情境，创设为有思考性的问题情境，带来的的是真正意义数学思考。因为素材来源于课堂、来自于学生，就让学生产生出非要解决它的强烈欲望，从而促进他们积极探索，丙在探索中积累了知识和经验。

根据这样的思路，我们直接选用了教材上的“炒菜上菜问题”，选定了平时学习生活中的“复印试卷问题”促建构。

(2)灵活呈现数学研究素材。

不管素材是来自教材，还是来自生活，亦或是来自课堂生成，无论是那种，教师必须采用多种方式呈现材料，为课堂上学生思维的激活设计通道。从教学实践看，变静态为动态、变单一文字为图文结合、变有序排列为非连续信息，更能调动学生多感官参与学习活动，促进思维条理性、逻辑性和敏捷性的发展，提升数学学习品质。“烙饼问题”的教学，素材可以静态呈现、动态演示、书面出示、口头描述、实验操作等方式相结合。

再次“烙饼”

经过慎重思考和重新设计，借班和学生再次“烙饼”。

教学的第一层次  

呈现如下情境：“一个电脑小游戏，可以单人玩，也可以双人玩，每局的时间是10分钟。现在甲、乙、丙三个小朋友每人都想玩2局，你打算怎样安排？最少需几分钟？”

引导学生直接从“3人玩”开始独立研究。然后组织交流不同的安排方法和所需时间。学生的思维有如下几种：

第一种，一个一个地轮流玩，每人2局，共要60分钟。

持这样思维的是少数，稍有经验或略会反思的学生，凭直觉都知道“太浪费时间了！”

第二种，先甲、乙同时玩一局，接着丙玩一局；再甲、乙同时玩一局，接着丙玩一局。合计要40分钟。

第三种，先甲、丙同时玩一局，接着乙玩一局；再甲、丙同时玩一局，接着乙玩一局。合计要40分钟。

第四种，先乙、丙同时玩一局，接着甲玩一局；再乙、丙同时玩一局，接着甲玩一局。合计要40分钟。

第五种，先甲、乙同时玩两局，接着丙玩两局。合计要40分钟。

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第六种，先甲、丙同时玩两局，接着乙玩两局。合计要40分钟。

第七种，先乙、丙同时玩两局，接着甲玩两局。合计要40分钟。

事实上，第二至第七种其实一种，都是其中两人先玩，再第三人玩。所以都需要40分钟。多数学生的思维属于其中的一种。

第八种，甲、乙；甲、丙；乙、丙每局两人同时交替着玩。只要30分钟。

这是最节约时间，而且是“最不让人等得着急”的玩法。有这种思维的学生接近班级的五分之一。

这时，引导学生把上述方法归为三类：

第一类，一个一个地轮流玩，每人2局，共要60分钟（上述第一种）；

第二类先其中两人先玩，再第三人玩，每人2局，共要40分钟（上述第二至第七种）；

第三类，每局两人，3人交替着玩，只要30分钟（上述第八种）。

更重要的是，引导学生对比发现“时间是怎么节约下来的”。得出本类问题的基本思想是“尽量不让电脑空着、每局都尽量两人同时玩”。

这个素材，我们姑且称为“电玩中的数学”，学生既熟悉、有兴趣，又包含“烙饼问题”的结构。这样引入和铺垫，既从学生的知识积累和直观经验出发，又不至于旁生枝节。直接从3个“饼”开始讨论，并适时合理归类，有利于学生学会思考，有利于第二层次教学感悟“尽量不让锅子空着，每次最多地烙”这一基本思想。

教学的第二层次

课件动态呈现情境：一个锅子每次最多可以同时烙2个饼，每个饼每面需烙2分钟。如果现在要烙3个饼，怎么烙时间最短？最短需要几分钟？

讨论并归纳：“交替烙饼”，每次都烙2个，烙3次，需2×3=6分钟。

再呈现研究问题：如果是要烙6个、7个、8个、9个、11个……怎么烙饼时间最节约？各需要几分钟？

放手让学生探究后反馈，抓住两个问题组织学生交流：“你是分成几个几个烙的？”“最少用了几分钟？”

接着抓住关键数据，着重引导比较“9个、11个”的不同分法，如9=2+2+2+3=3+3+3，时间是否一样，哪种更方便、更符合实际。

在此基础上，引导学生观察、思考和归纳：你有什么发现？

学生得出如下不同结论：当饼数是等于或大于2的双数，就2个2个同时烙；饼数是大于3的单数，可以先2个2个同时烙，再3个交替玩，有时也可以3个3个地烙；烙饼次数=饼数；总时间=每次时间×饼数；……

教学的第三层次

呈现“复印问题”和“炒菜问题”，引导学生独立解决，然后说说想的过程。

1.要复印5张A4试卷，正、反面都要复印。如果一次最多放两张试卷，那么你认为最少要复印多少次？你是怎么安排的？

2.某排档有两位厨师，这天午饭时间，同时来了甲、乙、丙三位顾客，每人点了两个菜。假设两位厨师炒每个菜的时间相等，应该安排怎样的顺序炒菜上菜？

反馈提问：什么相当于“锅子”，什么相当于“饼”？

因为“烙饼问题”本身具有比较强的综合性，具有一定的思考性，所以只要素材合适，活动安排恰当，开展探究教学是可以实现的。以“电玩中的数学”实现学生经验的迁移，以烙3个饼切入解决关键，选择烙6个、7个、8个、9个、11个的研究突破本质，最后走进生活运用并抽象模型。教学这样安排，“逼得”学生不得不既独立思考，又要合作讨论；既动脑、动眼、动手，又要动口和动笔记录。我们发现，当饼数多了后，有学生想象出现了困难，而自己的学具又不够，他只得和邻近同学一起共同用学习用品代替“饼”操作一番，自然而然形成小组合作学习。当学生对研究的情况交流之后，教师适时引导学生进行数据整理，再有目的地进行观察，比较异同和分析联系，突破了“分”和“交替烙”的难点，感悟到本质。进一步研究和分析数据，对“烙一个时间和烙一面时间”，“烙的次数与饼的面数”，“饼数与烙饼次数”，“饼数与总时间”等之间的对应关系有了初步的感悟。对得出的猜想和规律初步运用，从不同的角度进行验证，然后再概括和抽象出数学模型，符合创造思维的一般过程。

经过上面三个层次的教学，学生对“烙饼问题”蕴含的统筹方法有所感悟，而且数学模型也得以初步建立。

第四层次教学

布置学生创造一个类似于“烙饼”这样的问题。

建立模型，必须打通不同情境之间的本质联系；理解模型，有赖于问题的变式运用。这个环节的教学平常，但作用却不简单。

是否真正领会了“烙饼问题”的基本思想方法，这个层次是最好的“试金石”。

再次“烙饼”一课，组织学生探究和思考，即借助了学生的已有经验，降低了理解的难度，又避免了不必要的尴尬。把教学重点放在引导学生经历解决问题的过程和对问题的探索理解上，定位更准确。更重要的是，学生在学习知识和技能的同时，积累了“烙饼”的基本活动经验，获得了类似“烙饼”的精简节约、统筹安排思想。

　　总之，数学研究材料的选择既要关注现实性，又要体现数学知识的生活原型，既要体现适度的开放性，又不宜过分繁杂，既要关注趣味性，还要减少负面经验对数学思考的干扰，使素材有利于学生构建数学模型。使用研究素材要合理适度，不能盲目追求和滥用。同时课堂上还要动态把握素材，使好的生成资源为提高课堂教学效率起到积极的作用。

主要参考文献：

[1]郑毓信.数学思维与小学数学[M]江苏：江苏教育出版社，2008年.

[2]义务教育数学课程标准（2011年版）[J]北京：北京师范大学出版社，2011.

[3]江萍. 小学数学激活学生思维的有效学习材料设计与应用研究.  2012.

[4]林旭东.小学数学素材的有效选择与运用[J]：宁波教育学院学报，2010年01期

                                               2015.08再改