三谈“最小的一位数”

                               王玉璞

    为了把这个是与非的问题辩得更加明晰，不得不把网上的另一种冲淡是非、模棱两可的所谓“公说公有理，婆说婆有理”的说法加以必要的剖析。请看下面这段文章：

《首先要搞清楚问题的范围。一般来说，只考虑整数和正整数两个范围。在整数范围内，最小的一位数是-9；在正整数范围内，最小的一位数是1。如果必须要考虑自然数范围，那么在自然数范围内规定：最小的一位数是0。》，这段文章是国内某两所师范大学的著名教授在其《关于数学教学中的一些问题》的“小学阶段问题1：最小的一位数是几？”中的全部叙述。是以全面概括、总结和指导的角度加以叙述的，由于又是两位名人，名人就有名人效应，于是就在网上又引领出“在整数范围内，最小的一位数是-9；在正整数范围内，最小的一位数是1；在自然数范围内，最小的一位数是0。”的一股潮流。这让小学老师们更加莫衷一是，让孩子们更加一头雾水。因此我们必须逐句剖析它的错误和问题：

    一、文章中的第一句话“首先要搞清问题的范围。”是对的，讨论数学问题，应该先明确该问题的范围。可问题是你划分范围的方法是否科学、合理。在0不被认为是自然数的年代，人们曾把整数划分成“负整数”、“0”和“正整数”；在与国际接轨而把0划归自然数以后，0和正整数理应合并成自然数，不要再把0从自然数中剔除出来而得出一个正整数。也就是说，现在把整数划分成“负整数”和“自然数（非负整数）”两个范围更科学、合理。该文章却把范围划分成“整数”、“正整数”和“自然数”三种，是否科学、合理， 一比较自明。

    二、“在整数范围内，最小的一位数是-9；”这个结论也是对的，把这句话也可以说成“在负整数范围内，最小的一位数是-9”。这个结果是“在自然数范围内，最大的一位数是9”的镜像结果，“在自然数范围内，最大的两位数是99“，其镜像结果就是“在负整数范围内，最小的两位数是-99”……，如此而已。问题的要害是文章的开头已经限定了“小学阶段问题1：最小的一位数是几？”，在五年制小学里，根本还没学负数，却把“-9”的结果抛出来，不知作者的用意为何？莫非文章作者还要把“在虚数范围内，最小的一位数”也抛出来？！

    三、“在正整数范围内，最小的一位数是1。”是这段文章中最需要辨明的地方。否则，会出现“最小的一位数是0，对！那是在自然数范围内：最小的一位数是1，也对！那是在正整数范围内。”所谓“公说公有理，婆说婆有理”的状态。那么在正整数范围内，最小的一位数真的是1吗？不是！为什么不是？因为文章作者所谓的正整数，实际上就是自然数被剔除了0所剩下的部分，0被剔除了，最小的一位数就被剔除了，不存在了，因此，如果非要不科学地把0从自然数中剔除出去成为一个正整数，其最小的一位数也不是1，而是不存在！用反证的方法：如果最小的一位数是1，则最小的两位数等于最小的十位数（1）加上最小的个位数（1）,等于11，同理可推出：最小的三位数是111，最小的四位数是1111等等，导致错误结果，因此，最小的一位数不是1！

    四、文章中的“一般来说，只考虑整数和正整数两个范围。”与实际情况完全不符合！五年制的小学还没学负数你如何只考虑整数范围？你如果舍弃了自然数范围而只考虑正整数范围，就会导致1-1=0这样简单的运算都无法进行。在小学阶段，自然数范围才是应该考虑的范围！奇怪的是，文章作者在自然数范围前面却加上了“如果必须要考虑”的限定条件，实在让人费解！

    从以上四点剖析不难看出，教授们的这篇文章对小学的教学工作没有指导效果，反倒起了冲淡是非的作用，因此，由它而引领的潮流也应该休矣！

后记：

本人已经70多岁了，是一名大企业的退休人员，对教学、对数学都是外行。仅仅是由于发现了孩子们在学习中遇到如此的具体问题而学校和社会又迟迟拿不出令人信服的结论，很是忧心，不愿意看到在一个泱泱大国里让一个小小的数学问题扰得沸沸扬扬而莫衷一是。和众多家长一样，我希望孩子们在各个学科中，从小就能受到“概念清晰，逻辑严谨”的教育，所以才不知深浅地、一而再，再而三地、一发而不可收地发表了如上的看法，如有偏颇，十分愿意和大家讨论，我的邮箱是wyp4419@163.com

    当然，解铃还得系铃人，盼望各级教育部门、各位教育家、各位教授、各位老师赶紧把存在的问题纠正过来，不要因为这样的小问题而长期影响我们的教学质量。

    最后，借此机会，感谢尹瑞文老师管理的公益网站给我发表看法所提供的方便！

                 王玉璞  2016/6/16