主要内容

比例尺、面积变化、确定位置

学习目标

1、使学生在具体情境中理解比例尺的意义，能看懂线段比例尺。会求一幅图的比例尺，能按给定的比例尺求相应的实际距离或图上距离，会把数值比例尺与线段比例尺进行转化。

2、使学生在经历“猜想－验证”的过程中，自主发现平面图形按比例放大后面积的变化规律。

3、在解决问题的过程中，进一步体会比例以及比例尺的应用价值，感知不同领域数学内容的内在联系，增强用数和图形描述现实问题的意识和能力，丰富解决问题的策略。

4、使学生在具体情境中初步理解北偏东（西）、南偏东（西）的含义，初步掌握用方向和距离确定物体位置的方法，能根据给定方向和距离在平面图上确定物体的位置或描述简单的行走路线。

5、使学生在用方向和距离确定物体位置的过程中，进一步培养观察能力、识图能力和有条理的进行表达的能力。发展空间观念。

6、使学生积极参与观察、测量、画图、交流等活动，获得成功的体验，体会数学知识与生活实际的联系，拓展知识视野，激发学习兴趣。

考点分析

1、图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

2、比例尺 =  ，比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。

3、把一个平面图形按照一定的倍数（n）放大或缩小到原来的几分之一（ ）后，放大（或缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是n²:1（或1:n²）。

4、知道 了物体的方向和距离，就能确定物体的位置。

5、根据物体的位置，结合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置。画的时候先按方向画一条射线，在根据图上距离找出点所在的位置。

6、描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行走的方向与路程。

典型例题：

例1、（认识比例尺）

王伯伯家有一块长方形的菜地，长40米，宽30米。把这块菜地按一定的比例缩小，画在平面图上长4厘米，宽3厘米。你能分别写出菜地长、宽的图上距离和实际距离的比吗？

分析与解：图上距离和实际距离的单位不同，先要统一成相同的单位，写出比后再化简。

40米 = 4000厘米    3厘米 = 0.03米

  =         =   =  

图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

图上距离 : 实际距离 = 比例尺或  = 比例尺

图上距离和实际距离的比是1:1000，这幅图的比例尺是1:1000，也可写成 ，仍读作1比1000。

点评：求一幅地图的比例尺是一种比较简单的题目。做的时候唯一要注意的就是末尾0的问题：一是米、千米化成厘米的时候要在米、千米那个数的末尾加上2、5个0；二是在求比例尺的结果时要注意0的个数。多数一数、想一想，是不会有错的。

例2、（对比例尺的理解及比例尺的两种表示方法）

比例尺1:1000表示图上距离是实际距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少倍？图上1厘米表示实际距离多少米？

分析与解：比例尺1:1000表示图上距离是实际距离的 ，实际距离是图上距离的1000倍，图上1厘米的距离代表实际距离1000厘米，即10米。

像形如1:1000这样的比例尺叫做数值比例尺。比例尺1:1000还可以这样表示

0       10      20         30米

                              ，这是线段比例尺，它表示图上1厘米的距离代表实际距离10米。

例3、一个手表零件长2毫米，画在一幅图上长4厘米，这幅图的比例尺是多少？

错误解法：4厘米 = 40毫米   2 : 40 = 1 : 20

思路分析：无论什么样的图纸，比例尺始终是图上距离与实际距离的比，根据比例尺的定义，用“图上距离 : 实际距离 = 比例尺”去求。

正确解答：4厘米 = 40毫米   40 : 2 = 20 : 1

点评：比例尺通常情况下都应该写成前项是1的比。但比例尺的作用除了把实际距离缩小，还可以把实际距离扩大，这样比例尺的前项就比后项大，这时后项通常化成1。在解答时，只要坚持好“图上距离 : 实际距离 = 比例尺”，图上距离在前就可以了。

例4、（根据比例尺求图上距离或实际距离）

在比例尺是 的地图上，量得甲、乙两地的距离是2.5厘米。两地的实际距离是多少米？

分析与解：方法1：比例尺是 ，说明实际距离是图上距离的60000倍。

2.5×60000 = 150000（厘米）

150000（厘米）= 1500米

方法2：比例尺是 ，也就是图上1厘米的距离代表实际距离60000厘米，即600米。

2.5×600 = 1500（米）

方法3：根据   = 比例尺，可以用“图上距离 ÷ 比例尺”或“解比例”的方法来求实际距离。

2.5 ÷   = 2.5×60000 = 150000（厘米）= 1500米

解：设两地的实际距离是ⅹ厘米。

  =  

1ⅹ = 2.5 × 60000

ⅹ = 150000

150000（厘米）= 1500米

答：两地的实际距离是1500厘米。

例5、（平面图形按照一定的比放大后，面积扩大了比的平方倍）

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下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们的长和宽，算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。

                                         

 

                                          

分析与解：量得小长方形的长是2.5厘米，宽是1厘米；大长方形的长是7.5厘米，宽是3厘米。大长方形与小长方形长的比是7.5 : 2.5 = 3 : 1，宽的比是3 : 1。

  =   =   ×   = 9 : 1 = 3² : 1

答：大长方形与小长方形面积的比是9 : 1。

例6、（认识北偏东（西）若干度、南偏东（西）若干度等方向）

如图，一辆汽车向正北方向行驶，你能说出商场和书店分别在汽车的什么方向吗？

N

商场            北

     

45º

60º    书店

                                      0       3      6        9千米 

                 汽车                   

分析与解：从图上可以看出，以汽车为中心，书店在汽车的东北方向，商场在汽车的西北方向。

怎样才能更准确地表示它们的位置呢？

东北方向也叫做北偏东方向，书店在汽车的北偏东60º方向。

西北方向也叫做北偏西方向，商场在汽车的北偏西45º方向。

答：书店在汽车的北偏东60º方向，商场在汽车的北偏西45º方向。

例7、（知道了物体的方向和距离，才能确定物体的具体位置）

量出上图中书店到汽车的图上距离，根据比例尺算一算，书店在汽车北偏东60º方向的多少千米处？商场呢？

分析与解：从图中量得书店和商场到汽车的图上距离分别是1.2厘米和2.3厘米，根据比例尺，图上距离1厘米代表实际距离3千米，分别算出实际距离。

1.2 × 3 = 3.6（千米）┄┄┄书店

2.3 × 3 = 6.9（千米）┄┄┄商场

答：书店在汽车北偏东60º方向的3.6千米处，商场在汽车北偏西45º方向的6.9千米处。

点评：只有在方向词的后面添上角的度数，才能准确描述物体所在的位置。确定方向时，一定要先确定好南或北，再看是偏东还是偏西，如果图中没有画线，要先连线。算实际距离就根据前面比例尺的相关知识去求。

例8、（辨析）书店在汽车的北偏东60º方向，表示汽车也在书店的北偏东60º方向。

分析与解：书店在汽车的北偏东60º方向，是以汽车为中心，由北向东旋转60º；而以书店为中心，汽车在书店的西南方向，即南偏西60º方向。

书店在汽车的北偏东60º方向，表示汽车在书店的南偏西60º方向。

例9、（根据给定的方向和距离，有序地确定物体的具体位置）

海面上有一座灯塔，灯塔北偏西30º方向30千米处是凤凰岛。

N

北

  

W西                    东E

灯塔                    

                                        0    10   20     30千米

南

S

你能在图上指出凤凰岛大约在什么位置吗？

分析与解：（1）先确定北偏西30º的方向，画一条射线。

N

30º

                   

灯塔                    

（2）再算出灯塔到凤凰岛的图上距离是多少厘米。

30 ÷ 10 = 3（厘米）

凤凰岛 ●    N

30º

                   

灯塔                    

点评：在表示凤凰岛的具体位置时，先要画出表示方向的射线，再确定灯塔到凤凰岛的图上距离。且在画表示方向的射线时，应从表示灯塔的点开始画起，并注意正确摆好量角器。

例10、（用方向和距离描述简单的行走路线）

下图是某市旅游1号车行驶的线路图，请根据线路图填空。

  

（1）旅游1号车从起点站出发，向（    ）行驶到达青水公园，再向（    ）偏（    ）（    ）的方向行（    ）千米到达抗战纪念碑。

（2）由绿博园向南偏（    ）（    ）的方向行（    ）千米到达购物中心，再向北偏（    ）（    ）的方向行（    ）千米到达人民公园。

分析与解：先找准方向，再说出具体的路程。（1）旅游1号车从起点站出发，向（ 东 ）行驶到达青水公园，再向（ 北 ）偏（东）（40º）的方向行（1.8 ）千米到达抗战纪念碑。

（2）由绿博园向南偏（东）（60º）的方向行（1.7）千米到达购物中心，再向北偏（ 东 ）

（70º）的方向行（1.5）千米到达人民公园。

点评：在进行描述的时候，一定要先说清楚方向再说路程。说方向的时候为了说清楚，通常情况下不用东北、西北、东南、西南等说法，而用南偏东、南偏西、北偏东、北偏西多少度的说法更为准确。

小学数学总复习专题讲解及训练（七）

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模拟试题

１、说出下面各比例尺表示的意思。

1∶40000　　　　　　

 

2、判断：

①小华在绘制学校操场平面图时，用20厘米的线段表示地面上40米的距离，

这幅图的比例尺为1︰2。                ┈┈┈┈ （    ）

②某机器零件设计图纸所用的比例尺为1︰1，

说明了该零件的实际长度与图上是一样的  ┈┈┈┈ （    ）

③一幅图的比例尺是6︰1，这幅图所表示的实际距离大于图上距离。┈┈┈ （    ）

3、选择：

①如果某图纸所用的比例尺小于1，那么这幅图所表示的图上距离（    ）实际距离。

A.小于                B.大于             C.等于

②学校操场长100米，宽60米，在练习本上画图，选用（     ）作比例尺较合适。

A.1︰20              B.1︰2000          C.1︰200

4、一幅地图的线段比例尺是                     ，这幅图上3厘米表示实际距离多少千米？

5、 一种精密零件，画在图上是12厘米，而实际的长度是3毫米。求这幅图的比例尺。

6、英华小学有一块长120米、宽80米的长方形操场，画在比例尺为1 ：4000的平面图上，长和宽各应画多少厘米？

7、在比例尺为1 ：200000的一幅地图上， 城和 城相距5厘米，两城实际相距多少千米？

8、 一幅地图的线段比例尺是：

0    40   80   120  160千米，甲乙两城在

这幅地图上相距18厘米，两城间的实际距离是多少千米？丙丁两城相距660千米，在这幅地图上两城之间的距离是多少厘米？

9、在一幅比例尺为1:500的平面图上量得一间长方形教室的长是3厘米，宽是2厘米。

（1）求这间教室的图上面积与实际面积。

（2）写出图上面积和实际面积的比。并与比例尺进行比较。

10、下图是按1︰50000的比例尺绘出的方位图。说一说商店、公园、电影院的位置。

                                            电影院

●30º

●       ●

40º             广场  公园

●  商店

（1）公园在广场的东面（    ）千米处。

（2）电影院在广场的（  ）偏（  ）（  ）方向（  ）千米处。

（3）商店在广场的（                     ）。

11、小明家在百货商场的北偏西40°方向2500米处，图书馆在农业银行东偏南40°方向1500米处。下面是小明坐出租车从家去图书馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价9元计算，以后每增加1千米车费就增加2元。请你按图中提供的信息算一算，小明一共要花多少元出租车费？

 

参考答案：

１、说出下面各比例尺表示的意思。

1∶40000　表示图上距离是实际距离的 ，实际距离是图上距离的40000倍，图上1厘米的距离代表实际距离40000厘米，即400米。

 表示图上1厘米的距离代表实际距离200千米。

2、判断：

①小华在绘制学校操场平面图时，用20厘米的线段表示地面上40米的距离，这幅图的比例尺为1︰2。           ┈┈┈┈ （  ×  ）

②某机器零件设计图纸所用的比例尺为1︰1，说明了该零件的实际长度与图上是一样的。                       ┈┈┈┈ （  √  ）

③一幅图的比例尺是6︰1，这幅图所表示的实际距离大于图上距离。┈┈┈ （ × ）

3、选择：

①如果某图纸所用的比例尺小于1，那么这幅图所表示的图上距离（  A  ）实际距离。

A.小于                B.大于             C.等于

②学校操场长100米，宽60米，在练习本上画图，选用（  B   ）作比例尺较合适。

A.1︰20              B.1︰2000          C.1︰200

4、一幅地图的线段比例尺是                     ，这幅图上3厘米表示实际距离多少千米？这幅图上3厘米表示实际距离6千米。

5、 一种精密零件，画在图上是12厘米，而实际的长度是3毫米。求这幅图的比例尺。

图上距离 : 实际距离 = 比例尺

12厘米 = 120毫米  120 : 3 = 40 : 1

答：这幅图的比例尺是40 : 1。

6、 英华小学有一块长120米、宽80米的长方形操场，画在比例尺为1 ：4000的平面图上，长和宽各应画多少厘米？

长：120米 = 12000厘米   12000 ×  = 3厘米

宽：80米 = 8000厘米   8000 ×  = 2厘米

答：长应画3厘米，宽应画2厘米。

7、在比例尺为1 ：200000的一幅地图上， 城和 城相距5厘米，两城实际相距多少千米？

5 ÷  = 1000000厘米 = 10千米

答：两城实际相距10千米。

8、 一幅地图的线段比例尺是：

0    40   80   120  160千米，甲乙两城在

这幅地图上相距18厘米，两城间的实际距离是多少千米？丙丁两城相距660千米，在这幅地图上两城之间的距离是多少厘米？

18 × 40 = 720千米

660 ÷ 40 = 16.5厘米  或 66000000 ×  = 16.5厘米

答：两城间的实际距离是720千米，在这幅地图上两城之间的距离是16.5厘米。

9、在一幅比例尺为1:500的平面图上量得一间长方形教室的长是3厘米，宽是2厘米。

（1）求这间教室的图上面积与实际面积。

图上面积：3 × 2 = 6平方厘米

实际长：3 × 500 = 1500厘米    实际宽：2 × 500 = 1000厘米

实际面积：1500 × 1000 = 1500000平方厘米 = 150平方米

答：这间教室的图上面积6平方厘米，实际面积是150平方米。

（2）写出图上面积和实际面积的比。并与比例尺进行比较。

图上面积和实际面积的比是：6 : 1500000 = 1 : 250000

与比例尺进行比较1 : 250000 = （1:500）²

10、下图是按1︰50000的比例尺绘出的方位图。说一说商店、公园、电影院的位置。

                                            电影院

●30º

●       ●

40º             广场  公园

●  商店

（1）公园在广场的东面（  0.75  ）千米处。

量得公园到广场的图上距离是1.5厘米，1.5 × 50000 = 75000厘米 = 0.75千米

（2）电影院在广场的（ 北 ）偏（ 东 ）（ 60º ）方向（ 0.75 ）千米处。

（3）商店在广场的（ 南偏西 50º方向1.5千米处 ）。量得商店到广场的图上距离是3厘米

11、小明家在百货商场的北偏西40°方向2500米处，图书馆在农业银行东偏南40°方向1500米处。下面是小明坐出租车从家去图书馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价9元计算，以后每增加1千米车费就增加2元。请你按图中提供的信息算一算，小明一共要花多少元出租车费？

 

由图中信息可知小明家到百货商场有2500米，百货商场到农业银行与农业银行到图书馆都是1500米，小明坐出租车从家去图书馆一共要行2500 + 1500 + 1500 = 5500米，需要车费：9 + 2 × （5.5 – 3）= 14元