主要内容

比例的意义和基本性质

学习目标

1、使学生初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。

2、使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义和作用，认识比例的“项”、“内项”和“外项”；理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。

3、使学生在认识比例、应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，增强用数和图形描述现实问题的意义和能力，丰富解决问题的策略，发展对数学的积极情感。

考点分析

1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。

2、表示两个比相等的式子叫做比例。

3、组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。

4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。

5、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。求比例的未知项，叫做解比例。

典型例题

例1、（把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了）

A                     B                    

C

                                          

（1）长方形A的长是1.5厘米，宽是1厘米；长方形B的长是3厘米，宽是2厘米。这两个长方形的长有什么关系？宽呢？

（2）如果要把长方形A按 1:2的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少？

分析与解：（1）长方形B的长是长方形A的2倍，宽也是长方形A的2倍。或者说长方形B和长方形A长的比是2:1，宽的比也是2:1。

把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后的长方形的长和宽与原来长方形的比是2:1，就是把长方形A的长和宽按2:1的比进行放大。

（2）把长方形A按1:2的比缩小后为长方形C，长、宽缩小为原来的 ，图C的长是0.75厘米，图C的宽是0.5厘米。

由此可见，放大或缩小前后图形形状没有改变，还是长方形，只是大小变了。

例2、（根据指定的比，将图形按要求放大或缩小）

先按3:2的比画出长方形A放大后的图形B，再按1:2的比画出长方形A缩小后的图形C。（1）图B的长、宽各是几格？（2）图C呢？（3）观察这三幅图形，你有什么发现？





A

B







C





分析与解：（1）按3:2的比将长方形A放大，即将长方形A的长与宽分别扩大1.5倍，那么图B的长为6×1.5 = 9格，宽为4×1.5 = 6格。（2）按1:2的比将长方形A缩小，即将长方形A的长与宽分别缩小到原来的 ，那么图C的长为6÷2 = 3格，宽为4÷2 = 2格。（3）从这三幅大小不同的图形上可以看出，放大或缩小后的图形与原来的图形比较，大小虽变了，但形状不变，而且各条边长度的变化都符合指定的比。

点评：按比例放大图形或缩小图形，关键是要先根据比确定是放大还是缩小，然后确定好每条边的长度，画出图形就行了。

例3、（将两个相等比写成一个等式）

图B是由图A放大后得到的，你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗？比较写出的两个比，你有什么发现？

B

A                                   6厘米

3厘米

         8厘米              

4厘米

分析与解：（1）图A中长与宽的比是4:3；图B中长与宽的原始比是8:6，而8:6化简后就是4:3。

（2）这两个比化简后都是4:3，比值相等，说明这两个比可以写成一个等式。即

4:3 = 8:6或  =  ，都读作：4比3 等于 8比6。

例4、（认识比例）下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。

（1） 5 ：6 和15 ：18       （2）  0.2 ：0.1 和 3 ：1

（3）   ：  和 1.2 ：0.8  （4） 6 ：2 和  ： 

分析与解：分别求出每组中两个比的比值，如果相等就能组成比例，不相等就不能组成比例。

（1） 因为5 ：6 =  ，15 ：18 =  ，所以5 ：6 = 15 ：18。

（2） 因为0.2 ：0.1 = 2， 3 ：1 = 3，所以 0.2 ：0.1 和 3 ：1不能组成比例。

（3） 因为  ：  =  ， 1.2 ：0.8 =   ，所以  ：  = 1.2 ：0.8。

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（4） 6 ：2 = 3，  ：  = 3，所以6 ：2 =   ： 。

点评：判断两个比能不能组成比例，可以像题目中的方法一样，求出两个比的比值，比值相等就能组成比例，否则就不行。这样解题的依据是比例的意义。

例5、（比例的各部分名称和比例的基本性质）

一台织布机3小时织布3.6米，4小时织布4.8米。你能根据数量间的关系写出比例吗？

分析与解：（1）这台织布机织布米数和织布时间的比相等。      3.6 ：3 = 4.8 ：4

（2）这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。  3.6 ：4.8 = 3 ：4

（3）这台织布机织布时间和织布米数的比相等。      3 ：3.6 = 4 ：4.8

介绍“项”：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如：

3.6 ：3  =  4.8 ：4

内项 

                       外项

观察题中的三个比例，你有什么发现？

3.6 ：3 = 4.8 ：4   3.6 ：4.8 = 3 ：4   3 ：3.6 = 4 ：4.8

（1）3.6和4可以同时做比例的外项，也可以同时做比例的内项。

（2）3.6 × 4 = 3 × 4.8，可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。

（3）如果把3.6 ：3 = 4.8 ：4改写成分数形式  =  ，等号两边的分子、分母分别交叉相乘，结果也相等。

（4）如果用字母表示比例的四个项，即 a : b = c : d，

那么这个规律可表示成ad = bc 或 bc = ad。

（5）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。

例6、（比例基本性质的应用）根据2 × 7 = 1.4 × 10这个等式写出几个比例。

分析与解：根据比例的基本性质，可以得出2和7、1.4和10这两组数要么同时是比例的外项，要么同时是比例的内项。

1.4 : 2 = 7 : 10                  1.4 : 7 = 2 : 10

10 : 2 = 7 : 1.4                  10 : 7 = 2 : 1.4

2 : 1.4 = 10 : 7                  2 : 10 = 1.4 : 7

7 : 1.4 = 10 : 2                  7 : 10 = 1.4 : 2

点评：像这样的比例一共可以写8个。但它们不变的是2和7要么同时为内项，要么同时为外项，而1.4和10这一组数也一样。写的时候可以一组一组地写了。

例7、（按比例放大的含义）

王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是12.5厘米，你有什么发现？

4厘米

5厘米

分析与解：按比例放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放大，放大前后的相关线段的厘米数是可以组成比例的。两张图片长的比与宽的比可以组成比例，两张图片中各自长、宽的比也可以组成比例。

12.5 : 5 = 宽 : 4   或    12.5 : 宽 = 5 : 4

例8、（解比例）上图中宽是多少厘米？

分析与解：在解比例时，根据比例的基本性质把比例转化为积相等的式子，然后再根据等式的性质来解答。

解：设宽是ⅹ厘米。

12.5 : 5 = ⅹ : 4  

 5ⅹ = 12.5 × 4   ┈┈ 根据比例的基本性质

5ⅹ = 50

ⅹ = 10

答：放大后图片的宽是10厘米。

点评：像上面这样求比例中的未知项，叫做解比例。

同学们，你会解答     =    这个比例吗？试试看吧！