探索题例谈

探索型题是义务教育阶段数学新教材新增加的一种题型，从一年级到九年级由易到难始终有这样的题型。探索型题涉及数学知识较广，做这类题的关键应从观察已知式的变化特点入手，找出规律，并正确地用数学术语或式子表示出来。

例1．7．023023……是一个循环小数，请探索小数点后第10位﹑100位﹑998位﹑999位等第n位上的数字是多少？

分析：通过观察发现，7．023023…这个数的循环节是“023”，三位数。小数点后第10位的数字应该这样探索：

                10÷3=3……1     

             　     3次

 7.  

            ↓

            第9位

 第10位上的数字是0；

同理，100÷3=33……1

   　  33次

  7.          

             ↓

              第99位

第100位上的数字是0； 

    998÷3=332…2

    7. 2

                ↓第996位  

第998位上的数字是2；

999÷3=333

      333次

7.  

第999位上的数字是3；

n÷3=a……b（b=0﹑1﹑2）

当b=0是，第n位的数字3,

当b=1是，第n位的数字0,

当b=2是，第n位的数字2。

例2．不计算，运用规律直接写得数。

      6×7=42

      6.6×6.7=44.22

6.66×66.7=_________

6.666×666.7=________

   分析:通过观察发现,两个因数的整数部分共有几位数,积的整数部分就有几个4；两个因数的小数部分共有几位数，积的小数部分就有几个2。

  　　﹙n-1﹚个、﹙n-1﹚个、n个、n个

 即、6.  × .7= .  

例3．研究探索下列算式，你会得到什么规律？

     1×3+1=4=2 

     2×4+1=9=3 

     3×5+1=16=4 

         ．．．．．．

请将你找到的规律用式子表示出来：

n(n+2)+1=(n+1) (n是大于1或等于1的自然数)

分析：等号左边是两数之积再与1的和，两数之积的第一个因数分别是1、2、3…是n从1开始的自然数,第二个因数分别是3、4、5…当n＝１时，3表示1+2，当n＝2时，4表示2+2，当n＝3时，5表示3+2…当n＝n时,这个数表示为n+2,等号右边是某个数的平方,这些数分别是2 、3 、4 、5 …，当n＝１时，2 表示为(1+1)  ；当n＝2时，3 表示为(2+1) ；当n＝3时，4 表示为

(3+1) …当n＝n时,这个数表示为(n+1) 。

因此，这个规律可表示为n(n+2)+1=(n+1) （n为大于或等于1的自然数）。

     例4．经过计算：   ， =  ，   ， 

   ，观察上述结果的规律，并把此结果的特点写成一般表达式：

   。

于是，  + + +… 的计算结果为1- (是大于或等于1的自然数)。

分析：从已知观察， 可表示为  则，

 + + +… =  +  +  +…+ - + - 。除第一项和最后一项外，其他的和为0，最后的结果为1- (是大于或等于1的自然数)。

做探索型题的关键是观察——归纳——猜想，探索型题是数学推理的应用。数学推理包括分析、综合、抽象概括等演绎推理方式，而做探索型题要有分析能力、归纳能力、猜想能力。这是对数学探索研究的一般思维方法。

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